From 3b8ef0a5cc8124925cc6d279487f4cfd3b1dedcd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 5 Mar 2016 16:35:37 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Two=20theorems=20by=20E.=C2=A0Artin.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- notes-accq205.tex | 92 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 84 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'notes-accq205.tex') diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a505959..04b6544 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1836,13 +1836,14 @@ algébrique. \thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle \textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq -L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, -c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de $K$-algèbres $L \to L$ -(automorphismes de $L$ = isomorphismes de $L$ sur lui-même), -c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes de $L$ qui soient -l'identité sur $K$. Lorsque $L$ est la clôture séparable de $K$, on -dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de Galois \textbf{absolu} -de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois $\Gamma_K$. +L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, ou +$K$-automorphismes de $L$, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes +de $K$-algèbres $L \to L$ (automorphismes de $L$ = isomorphismes de +$L$ sur lui-même), c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes +de $L$ qui soient l'identité sur $K$. Lorsque $L$ est la clôture +séparable de $K$, on dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de +Galois \textbf{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois +$\Gamma_K$. Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ est le groupe à deux éléments formé @@ -1851,7 +1852,12 @@ groupe de Galois de $\mathbb{F}_p \subseteq \mathbb{F}_{p^d}$ est le groupe cyclique à $d$ éléments formé des $\Frob_p^i$ pour $0\leq i\leq d-1$. -\begin{thm} +\bigbreak + +On admet le théorème suivant, qui récapitule les résultats essentiels +de la théorie de Galois : + +\begin{thm}\label{main-results-galois-theory} Soit $K \subseteq L$ une extension galoisienne et $G := \Gal(K \subseteq L)$ son groupe de Galois. Alors : \begin{itemize} @@ -1888,6 +1894,76 @@ les résultats suivants : \end{itemize} \end{thm} +\bigbreak + +Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin : + +\begin{thm}\label{artin-theorem-on-automorphisms} +Soit $L$ un corps et $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes +de $L$ : si $K := \Fix(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in +G\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$ est le corps des éléments de $L$ +fixés par tous les éléments de $G$, alors $K \subseteq L$ est une +extension galoisienne de groupe de Galois $G$ (en particulier, $[L:K] += \#G$). +\end{thm} +\begin{proof} +Soit $x \in L$ et $\sigma_1,\ldots,\sigma_r \in G$ un ensemble +d'éléments de $G$ tels que les $\sigma_i(x)$ soient toutes les images +de $x$ par les éléments de $x$ chacune comptée exactement une fois. +En particulier, si $\tau\in G$ alors +$\tau\sigma_1(x),\ldots,\tau\sigma_r(x)$ sont une permutation de +$\sigma_1(x),\ldots,\sigma_r(x)$. Par conséquent, $\tau$ permute les +racines du polynôme $f(t) := \prod_{i=1}^r (t-\sigma_i(x))$, donc fixe +ses coefficients, c'est-à-dire que $f \in K[t]$ ; et comme les +$\sigma_i(x)$ sont distincts dans $L$, le polynôme $f$ est séparable ; +enfin, le degré de $f$ est $r \leq n := \#G$. + +On a donc montré que tout élément $x$ de $L$ est racine d'un polynôme +sur $K$ séparable de degré $\leq n := \#G$ et scindé sur $L$. Ceci +montre que $L$ est algébrique séparable et normale sur $K$, et même, +que $[L:K] \leq n$ (car pour tous $x_1,\ldots,x_m \in L$ on a +$K(x_1,\ldots,x_m) = K(x)$ pour un certain $x$ +d'après \ref{primitive-element-theorem}, donc on vient de voir que le +degré de $K(x_1,\ldots,x_m)$ sur $K$ est $\leq n$, et comme ceci est +vrai pour tous $x_1,\ldots,x_m$, on a $[L:K] \leq n$). On a donc +affaire à une extension $K \subseteq L$ galoisienne de degré $\leq +n$ ; d'après \ref{main-results-galois-theory}, le groupe des +$K$-automorphismes de $L$, ou groupe de Galois de $K \subseteq L$, a +pour cardinal exactement $[L:K] \leq n$, et comme on a déjà $\#G = n$ +automorphismes, tous ces nombres sont égaux, et $G = \Gal(K \subseteq +L)$. +\end{proof} + +\begin{thm}\label{linear-independence-of-characters} +Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une +opération binaire associative avec un élément unité), noté +multiplicativement, et $L$ un corps. Soient $\chi_1,\ldots,\chi_n$ +des \textbf{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes +$G \to L^\times$ (autrement dit, des applications $\chi\colon G\to +L^\times$ telles que $\chi(1) = 1$ et $\chi(g_1 g_2) = +\chi(g_1)\,\chi(g_2)$). On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$ +sont deux à deux distincts. Alors en tant qu'applications $G \to L$, +ils sont linéairement indépendants (c'est-à-dire que si $a_1 \chi_1 + +\cdots + a_n \chi_n = 0$ identiquement avec $a_1,\ldots,a_n \in L$, +alors tous les $a_i$ sont nuls). +\end{thm} +\begin{proof} +Si $n=1$, le résultat est évident. Supposons qu'on ait une relation +de dépendance linéaire $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$ entre +caractères distincts de $G$ dans $L$, avec $n$ aussi petit que +possible : aucun des $a_i$ n'est nul, et on vient de dire que $n \geq +2$. Puisque $\chi_1\neq\chi_2$, il existe $u\in G$ tel que $\chi_1(u) +\neq \chi_2(u)$. De $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$ on tire +$a_1 \chi_1(ug) + \cdots + a_n \chi_n(ug) = 0$ pour tout $g\in G$, +c'est-à-dire $a_1 \chi_1(u)\, \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n(u)\, \chi_n += 0$, et si on divise cette relation par $\chi_1(u)$ et qu'on +soustrait la relation $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$ +d'origine, on trouve $a_2\big(\frac{\chi_2(u)}{\chi_1(u)}-1\big)\chi_2 ++ \cdots + a_n\big(\frac{\chi_n(u)}{\chi_1(u)}-1\big)\chi_n = 0$, une +relation de dépendance linéaire entre $n-1$ caractères distincts, +contredisant la minimalité de $n$. +\end{proof} + \section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski} -- cgit v1.2.3