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Date: Sat, 5 Mar 2016 16:35:37 +0100
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+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1836,13 +1836,14 @@ algébrique.
 
 \thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle
 \textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq
-L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$,
-c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de $K$-algèbres $L \to L$
-(automorphismes de $L$ = isomorphismes de $L$ sur lui-même),
-c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes de $L$ qui soient
-l'identité sur $K$.  Lorsque $L$ est la clôture séparable de $K$, on
-dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de Galois \textbf{absolu}
-de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois $\Gamma_K$.
+L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, ou
+$K$-automorphismes de $L$, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes
+de $K$-algèbres $L \to L$ (automorphismes de $L$ = isomorphismes de
+$L$ sur lui-même), c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes
+de $L$ qui soient l'identité sur $K$.  Lorsque $L$ est la clôture
+séparable de $K$, on dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de
+Galois \textbf{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois
+$\Gamma_K$.
 
 Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de
 $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ est le groupe à deux éléments formé
@@ -1851,7 +1852,12 @@ groupe de Galois de $\mathbb{F}_p \subseteq \mathbb{F}_{p^d}$ est le
 groupe cyclique à $d$ éléments formé des $\Frob_p^i$ pour $0\leq i\leq
 d-1$.
 
-\begin{thm}
+\bigbreak
+
+On admet le théorème suivant, qui récapitule les résultats essentiels
+de la théorie de Galois :
+
+\begin{thm}\label{main-results-galois-theory}
 Soit $K \subseteq L$ une extension galoisienne et $G := \Gal(K
 \subseteq L)$ son groupe de Galois.  Alors :
 \begin{itemize}
@@ -1888,6 +1894,76 @@ les résultats suivants :
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
+\bigbreak
+
+Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin :
+
+\begin{thm}\label{artin-theorem-on-automorphisms}
+Soit $L$ un corps et $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes
+de $L$ : si $K := \Fix(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in
+G\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$ est le corps des éléments de $L$
+fixés par tous les éléments de $G$, alors $K \subseteq L$ est une
+extension galoisienne de groupe de Galois $G$ (en particulier, $[L:K]
+= \#G$).
+\end{thm}
+\begin{proof}
+Soit $x \in L$ et $\sigma_1,\ldots,\sigma_r \in G$ un ensemble
+d'éléments de $G$ tels que les $\sigma_i(x)$ soient toutes les images
+de $x$ par les éléments de $x$ chacune comptée exactement une fois.
+En particulier, si $\tau\in G$ alors
+$\tau\sigma_1(x),\ldots,\tau\sigma_r(x)$ sont une permutation de
+$\sigma_1(x),\ldots,\sigma_r(x)$.  Par conséquent, $\tau$ permute les
+racines du polynôme $f(t) := \prod_{i=1}^r (t-\sigma_i(x))$, donc fixe
+ses coefficients, c'est-à-dire que $f \in K[t]$ ; et comme les
+$\sigma_i(x)$ sont distincts dans $L$, le polynôme $f$ est séparable ;
+enfin, le degré de $f$ est $r \leq n := \#G$.
+
+On a donc montré que tout élément $x$ de $L$ est racine d'un polynôme
+sur $K$ séparable de degré $\leq n := \#G$ et scindé sur $L$.  Ceci
+montre que $L$ est algébrique séparable et normale sur $K$, et même,
+que $[L:K] \leq n$ (car pour tous $x_1,\ldots,x_m \in L$ on a
+$K(x_1,\ldots,x_m) = K(x)$ pour un certain $x$
+d'après \ref{primitive-element-theorem}, donc on vient de voir que le
+degré de $K(x_1,\ldots,x_m)$ sur $K$ est $\leq n$, et comme ceci est
+vrai pour tous $x_1,\ldots,x_m$, on a $[L:K] \leq n$).  On a donc
+affaire à une extension $K \subseteq L$ galoisienne de degré $\leq
+n$ ; d'après \ref{main-results-galois-theory}, le groupe des
+$K$-automorphismes de $L$, ou groupe de Galois de $K \subseteq L$, a
+pour cardinal exactement $[L:K] \leq n$, et comme on a déjà $\#G = n$
+automorphismes, tous ces nombres sont égaux, et $G = \Gal(K \subseteq
+L)$.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}\label{linear-independence-of-characters}
+Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une
+opération binaire associative avec un élément unité), noté
+multiplicativement, et $L$ un corps.  Soient $\chi_1,\ldots,\chi_n$
+des \textbf{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes
+$G \to L^\times$ (autrement dit, des applications $\chi\colon G\to
+L^\times$ telles que $\chi(1) = 1$ et $\chi(g_1 g_2) =
+\chi(g_1)\,\chi(g_2)$).  On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$
+sont deux à deux distincts.  Alors en tant qu'applications $G \to L$,
+ils sont linéairement indépendants (c'est-à-dire que si $a_1 \chi_1 +
+\cdots + a_n \chi_n = 0$ identiquement avec $a_1,\ldots,a_n \in L$,
+alors tous les $a_i$ sont nuls).
+\end{thm}
+\begin{proof}
+Si $n=1$, le résultat est évident.  Supposons qu'on ait une relation
+de dépendance linéaire $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$ entre
+caractères distincts de $G$ dans $L$, avec $n$ aussi petit que
+possible : aucun des $a_i$ n'est nul, et on vient de dire que $n \geq
+2$.  Puisque $\chi_1\neq\chi_2$, il existe $u\in G$ tel que $\chi_1(u)
+\neq \chi_2(u)$.  De $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$ on tire
+$a_1 \chi_1(ug) + \cdots + a_n \chi_n(ug) = 0$ pour tout $g\in G$,
+c'est-à-dire $a_1 \chi_1(u)\, \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n(u)\, \chi_n
+= 0$, et si on divise cette relation par $\chi_1(u)$ et qu'on
+soustrait la relation $a_1 \chi_1 + \cdots + a_n \chi_n = 0$
+d'origine, on trouve $a_2\big(\frac{\chi_2(u)}{\chi_1(u)}-1\big)\chi_2
++ \cdots + a_n\big(\frac{\chi_n(u)}{\chi_1(u)}-1\big)\chi_n = 0$, une
+relation de dépendance linéaire entre $n-1$ caractères distincts,
+contredisant la minimalité de $n$.
+\end{proof}
+
 
 \section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski}
 
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