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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 8 Apr 2016 16:00:20 +0200
Subject: Riemann-Roch spaces.

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@@ -2307,11 +2307,13 @@ algébriques sur $\mathbb{Q}$ (cf. \ref{relative-algebraic-closure}
 et \ref{algebraic-closure-in-algebraically-closed-field}).
 
 \thingy\label{maximal-ideals-of-points} Soit $k$ un corps.  On va s'intéresser aux idéaux
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 \mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} &:= \{f \in k[t_1,\ldots,t_n]
 : f(x_1,\ldots,x_n) = 0\}\\
 &= (t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 pour $(x_1,\ldots,x_n) \in k^n$, et on va expliquer qu'ils sont
 maximaux (cf. \ref{fields-and-maximal-ideals}).
 
@@ -2739,10 +2741,12 @@ peut donner une interprétation de $k[t_1,\ldots,t_d]/(I)$ comme suit :
 Considérons l'application qui à un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$
 associe la restriction à $Z(I)$ de ce polynôme, vu comme une
 application de $(k^{\alg})^d$ vers $k^{\alg}$ ; autrement dit,
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 k[t_1,\ldots,t_d] &\to (k^{\alg})^{Z(I)}\\
 f &\mapsto ((x_1,\ldots,x_d) \mapsto f(x_1,\ldots,x_d))
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 Il s'agit manifestement d'un morphisme d'anneaux (en munissant
 $(k^{\alg})^{Z(I)}$ des opérations point à point) dont le noyau est
 $\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition.  Il s'ensuit que son image,
@@ -4812,6 +4816,10 @@ Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P
 $\deg(P)$ est le degré de la place $P$ (cf. \ref{degree-of-a-place}).
 On notera $\Divis^0(C)$ le sous-groupe des diviseurs de degré zéro
 (i.e., le noyau de $\deg$).
+
+Un diviseur $D$ est dit \defin[effectif (diviseur)]{effectif} (ou
+abusivement : « positif ») lorsque tous les coefficients $n_P$ sont
+positifs.  On note $D \geq 0$ pour cette affirmation.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
@@ -4820,11 +4828,13 @@ K$ est non constante, on appelle respectivement \textbf{diviseur des
   zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal
   (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les
 diviseurs
-\begin{align*}
+\[
+\begin{aligned}
 f^*((0)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) > 0} v_P(f)\cdot (P)\\
 f^*((\infty)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) < 0} -v_P(f)\cdot (P)\\
 \divis(f) := f^*((0)-(\infty)) &= \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)\\
-\end{align*}
+\end{aligned}
+\]
 où $v_P$ est la valuation correspondant\footnote{Formellement, avec la
   présentation utilisée ici, $v_P$ et $P$ sont \emph{égaux}.  Il est
   cependant utile de les distinguer, et d'appeler $P$ une « place » de
@@ -4844,7 +4854,12 @@ Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la
 propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des
 valuations.
 
-\begin{defn}
+Si $D = \sum_P n_P\cdot (P)$ est un diviseur, certains appellent
+valuation de $D$ en $P$ l'entier $n_P$ (ce qui fait donc que la
+valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par définition exactement la
+valuation $v_P(f)$ de $f$ en $P$).  On évitera cette terminologie.
+
+\begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group}
 Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle
 \defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré
 zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)$ pour
@@ -4890,6 +4905,79 @@ dit, $\Pic(\mathbb{P}^1_k) = \mathbb{Z}$ (l'isomorphisme étant donné
 par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$.
 
 
+\subsection{Espaces de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch-spaces}
+
+\begin{defn}
+Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D =
+\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire une
+combinaison linéaire formelle, à coefficients entiers, de places
+de $C$).  On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de
+  Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel
+\[
+\begin{aligned}
+\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, v_P(f) \geq -n_P\}\\
+&= \{f \in K : \divis(f) + D \geq 0\}\\
+\end{aligned}
+\]
+des fonctions rationnelles sur $C$ qui ont en chaque place $P$ un pôle
+d'ordre au plus $n_P$ (ou un zéro d'ordre au moins $n_P$ dans le cas
+où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul).
+
+On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace
+vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie).
+\end{defn}
+
+\begin{prop}
+En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe :
+
+(o) Si $\mathscr{L}(D) \neq 0$ alors il existe $D'$ linéairement
+  équivalent à $D$
+  (cf. \ref{definition-linear-equivalence-and-picard-group}) et
+  effectif.
+
+(i.a) En notant $0$ le diviseur nul, on a $\mathscr{L}(0) = \tilde k$.
+  (i.b) Si $D < 0$ (au sens où $-D$ est effectif et non nul), on a
+  $\mathscr{L}(D) = 0$.
+
+(ii) Si $D$ et $D'$ sont linéairement équivalents ($D \sim D'$),
+  c'est-à-dire si $D' - D = \divis(f)$ pour une certaine fonction $f$
+  alors on a un isomorphisme $\mathscr{L}(D') \buildrel\sim\over\to
+  \mathscr{L}(D)$ donné par $g \mapsto fg$.  En particulier,
+  $\mathscr{L}(D')$ et $\mathscr{L}(D)$ ont même dimension $\ell(D') =
+  \ell(D)$.
+
+(iii) Si $D \leq D'$ (au sens où $D' - D$ est effectif) alors
+  $\mathscr{L}(D) \subseteq \mathscr{L}(D')$ et la dimension du
+  $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D')/\mathscr{L}(D)$ est au
+  plus $\deg D' - \deg D$.
+
+(iv) Le $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D)$ est de dimension finie :
+  plus précisément, si $D = D_+ - D_-$ avec $D_+$ et $D_-$ effectifs,
+  alors $\ell(D) \leq [\tilde k:k] + \deg D_+$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+(o) Si $f \in \mathscr{L}(D)$ alors $D' := \divis(f) + D$ est effectif
+  (par définition de $\mathscr{L}(D)$) et linéairement équivalent
+  à $D$ (par définition de l'équivalence linéaire).
+
+(i) découle de \ref{constant-functions-on-a-curve} (une fonction sans
+  pôle, c'est-à-dire un élément de $\mathscr{L}(0)$, est constante, et
+  elle n'a pas non plus de zéro, c'est-à-dire n'appartient pas à
+  $\mathscr{L}(D)$ pour $D<0$, sauf si elle est nulle).
+
+(ii) Il suffit de constater que si $D' = D + \divis(f)$ alors
+  $\divis(g) + D' \geq 0$ équivaut à $\divis(fg) + D \geq 0$ puisque
+  les membres de gauche sont égaux (vu que $\divis(fg) = \divis(f) +
+  \divis(g)$).
+
+(iii) (sauf l'affirmation $\mathscr{L}(D) \subseteq \mathscr{L}(D')$,
+  qui est triviale), et (iv) pour $D_- = 0$, sont une reformulation
+  de \ref{dimension-degree-bound-lemma}.  Le cas général de (iv) s'en
+  déduit trivialement (augmenter $D_-$ ne peut que faire
+  diminuer $\ell(D)$).
+\end{proof}
+
+
 
 % TODO:
 % * Différentielles.
-- 
cgit v1.2.3

