From 41f91cf65d1c424b48733d17b37add64d579245b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 18 Mar 2016 20:18:17 +0100
Subject: Another example: the parabola.

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 notes-accq205.tex | 20 ++++++++++++--------
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index 5008f5b..0d7ce7c 100644
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+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3155,14 +3155,18 @@ Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C =
 quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
 paramétrée.  Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
 qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
-la droite.
-
-De façon générale, le même raisonnement va fonctionner pour une
-conique « non-dégénérée » sur un corps de caractéristique $\neq 2$,
-i.e., la courbe définie par un polynôme de degré $2$ qui ne se
-factorise pas même sur la clôture algébrique (géométriquement, ceci
-signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur
-la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel}
+la droite.  (Un exemple encore plus simple d'une courbe rationnelle
+est fourni par la parabole $\{x = y^2\}$, où ici $k(x)[y]/(y^2-x)$ est
+simplement $k(y)$, dans lequel $k(x)$ est vu comme le
+sous-corps $k(y^2)$.)
+
+De façon générale, le même raisonnement que pour le cercle va
+fonctionner pour une conique « non-dégénérée » sur un corps de
+caractéristique $\neq 2$, i.e., la courbe définie par un polynôme de
+degré $2$ qui ne se factorise pas même sur la clôture algébrique
+(géométriquement, ceci signifie que la conique ne sera pas réunion de
+deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition
+  d'avoir un point rationnel}
 (cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le
 rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente
 variable.  L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas
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cgit v1.2.3

