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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 9 Feb 2016 18:00:54 +0100
Subject: Start talking about transcendence bases.

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 \section{Corps et extensions de corps}
 
-\subsection{Extensions algébriques et transcendantes}
+\subsection{Extensions algébriques et degré}
 
 \thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
 commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
@@ -90,10 +90,21 @@ aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
 
 \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
 note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
-petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
+petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, i.e., l'intersection de
 tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
-cette propriété).  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une
-extension \textbf{monogène}.
+cette propriété ; c'est encore le corps formé de tous les éléments de
+$K$ obtenus à partir de $x$ et de ceux de $k$ par sommes, différences,
+produits et quotients, c'est-à-dire le corps formé des valeurs en $x$
+de toutes les fractions rationnelles à une indéterminée sur $k$ qui
+sont bien définies en $x$.  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est
+une extension \textbf{monogène}.
+
+Plus généralement, si $x_i$ sont des éléments de $K$, on notera
+$k(x_i)$ (par exemple $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'ils sont en nombre fini)
+l'extension de $k$ engendrée par eux, c'est-à-dire le plus petit
+sous-corps de $K$ contenant les $x_i$.  Une extension $k \subseteq
+k(x_1,\ldots,x_n)$ engendrée par un nombre fini d'éléments est dite
+\textbf{de type fini}.
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
 désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
@@ -106,7 +117,8 @@ apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
 sous-entendu que $x$ est une indéterminée.  La même remarque vaut,
 \textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
 petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
-une indéterminée $x$ sur $k$.
+une indéterminée $x$ sur $k$.  Mêmes remarques pour
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ et $k[x_1,\ldots,x_n]$.
 
 \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
 existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
@@ -183,6 +195,88 @@ du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est
 $K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in
   I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée).
 
+\thingy Les deux faits suivants sont à noter :
+
+Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
+algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques
+sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
+k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
+composée est fini).
+
+Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à
+la fois algébrique et de type fini.  (Le sens « si » résulte de
+l'affirmation précédente ; pour le sens « seulement si », remarquer
+que pour tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
+algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre
+certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
+
+
+\subsection{Bases et degré de transcendance}
+
+\begin{defn}
+Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
+$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
+  indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
+  transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$
+à coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le
+polynôme nul, autrement dit, lorsque l'unique morphisme
+$k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des
+polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$
+est injectif.  En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant
+sur $k$.
+
+On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est
+algébriquement indépendante lorsque toute sous-famille finie d'entre
+eux l'est.
+
+Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de
+  transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement
+indépendante est $K$ est une extension algébrique de l'extension
+$k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
+\end{defn}
+
+\thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
+algébriquement indépendants si $t_1,\ldots,t_n$ sont des
+indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des
+fractions rationnelles en $n$ indéterminées.  Réciproquement, si
+$x_1,\ldots,x_n$ sont algébriquement indépendants, alors
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ s'identifie au corps des fractions rationnelles en
+$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu ci-dessus (en
+envoyant $P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur
+$P(x_1,\ldots,x_n)/Q(x_1,\ldots,x_n)$).
+
+(On peut encore dire la même chose pour un nombre infini de $x_i$, à
+condition de définir le corps des fractions rationnelles en un nombre
+infini d'indéterminées, comme « réunion », techniquement la limite
+inductive, des corps de fractions rationnelles sur une sous-famille
+finie quelconque d'entre elles.)
+
+\thingy Lorsque les $(x_i)$ sont algébriquement indépendants, on dit
+aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)$ est \textbf{transcendante
+  pure} : autrement dit, une extension transcendante pure est un corps
+de fractions rationnelles en un nombre quelconque (peut-être infini,
+cf. ci-dessus) de variables.
+
+La question de déterminer si une extension de corps est transcendante
+pure peut être extrêmement difficile ; à titre d'exemple, le corps
+$\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2-1)$ des fractions de
+$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est une extension transcendante pure de
+$\mathbb{R}$, car il est en fait isomorphe à $\mathbb{R}(t)$ où $t =
+\frac{y}{x+1}$ (de réciproque $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $y =
+\frac{2t}{1+t^2}$) : on reviendra sur cet exemple.
+
+Certains auteurs disent parfois par abus de langage (ces notes
+tâcheront de l'éviter) que $k \subseteq k(x_1,\ldots,x_n)$ est
+transcendante pure pour dire en fait que les $x_1,\ldots,x_n$ sont
+algébriquement indépendants.  L'exemple ci-dessus montre que c'est
+abusif ; cependant, on verra que ce ne l'est plus si on sait que le
+degré de transcendance est bien $n$.
+
+Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci
+« décompose » l'extension $k \subseteq K$ en deux : l'extension $k
+\subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i)
+\subseteq K$ est algébrique.
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