From 5bca1233532b3f21f249113b9bfe8eea42c4554e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 9 Feb 2016 19:25:42 +0100
Subject: Recall what an integral domain is, and whatnot.

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 notes-accq205.tex | 92 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------
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 \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
-\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
-\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
-\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
-\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
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 \section{Corps et extensions de corps}
 
+\subsection{Anneaux intègres, corps, idéaux premiers et maximaux}
+
+\thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
+dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
+ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$
+implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il
+existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$.
+
+Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est
+égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé
+anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
+anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
+réciproque est toujours vraie).
+
+Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier}
+lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre,
+autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
+\mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$
+(la réciproque est toujours vraie).
+
+\thingy Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
+l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe,
+aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$.
+
+Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
+des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des
+éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel
+($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible.  De façon
+équivalente, un corps est un anneau ayant exactement deux idéaux (qui
+sont alors $0$ et lui-même).  Un corps est, en particulier, un anneau
+intègre.
+
+Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal}
+lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon
+équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est
+maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$.  Un idéal maximal
+est, en particulier, premier.
+
+\thingy À titre d'exemple, l'idéal $n\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ (on
+rappelle que tous les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont de cette forme, pour
+un $n \in \mathbb{N}$ défini de façon unique) est premier si et
+seulement si $n = 0$ (le quotient étant $\mathbb{Z}$ lui-même) ou bien
+$n$ est un nombre premier ; il est intègre exactement si $n$ est un
+nombre premier (le quotient étant alors le corps
+$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).
+
+\thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
+dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
+symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
+\setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec
+$\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$
+est le quotient de $A \times (A\setminus\{0\})$ par la relation
+d'équivalence qu'on vient de dire) ; la structure d'anneau est définie
+par $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = \frac{aq'+a'q}{qq'}$ et
+$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$.  À titre
+d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la
+définition de ce dernier).
+
+Le corps des fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété
+« universelle » suivante : si $K$ est un corps quelconque, et
+$\varphi\colon A \to K$ un morphisme d'anneaux injectif, il existe un
+unique morphisme de corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e.,
+extension de corps, cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e.,
+$\hat\varphi(a) = \varphi(a)$ si $a\in A$).  En effet, il suffit de
+définir $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$.
+
+\thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
+polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
+appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
+« fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$
+sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$.
+
 \subsection{Extensions algébriques et degré}
 
-\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
-commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
-inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls.
-Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$
-entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un
-idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être
-considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit
-$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit
-aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
+\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
+\to K$ entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau
+est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc
+être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$
+soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on
+dit aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
 
 \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
 note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
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