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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 10 Feb 2016 00:18:43 +0100
Subject: Discuss generated algebra and field in general.

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 \section{Corps et extensions de corps}
 
-\subsection{Anneaux intègres, corps, idéaux premiers et maximaux}
+\subsection{Anneaux, algèbres, corps, idéaux premiers et maximaux et corps des fractions}
+
+\thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
+considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il
+existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
+seul élément, appelé l'\textbf{anneau nul}.  (Pour tout anneau $A$, il
+existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il
+n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même
+l'anneau nul.)
+
+\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
+implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
+\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de
+l'algèbre.  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$
+avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).
+Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux
+$A\buildrel\psi\over\to B$ tel que le morphisme structural $k
+\buildrel\varphi_B\over\to B$ de $B$ soit la composée $k
+\buildrel\varphi_A\over\to A\buildrel\psi\over\to B$ de celui de $A$
+avec le morphisme considéré.
+
+De façon équivalente, une $k$-algèbre est un $k$-module qui est muni
+d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et les
+morphismes de $k$-algèbres sont les applications $k$-linéaires qui
+préservent la multiplication ; le morphisme structural peut alors se
+retrouver par $c \mapsto c\cdot 1$.  Notons qu'une
+$\mathbb{Z}$-algèbre est exactement la même chose qu'un anneau (raison
+pour laquelle il est souvent préférable d'énoncer les résultats en
+parlant de $k$-algèbres pour plus de généralité).
+
+Dans la pratique, cependant $k$ sera généralement un corps : une
+$k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication
+$k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est
+automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.
 
 \thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
 dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
@@ -85,7 +118,8 @@ Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est
 égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé
 anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
 anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
-réciproque est toujours vraie).
+réciproque est toujours vraie).  Par convention, l'anneau nul n'est
+pas intègre.
 
 Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier}
 lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre,
@@ -102,8 +136,10 @@ des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des
 éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel
 ($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible.  De façon
 équivalente, un corps est un anneau ayant exactement deux idéaux (qui
-sont alors $0$ et lui-même).  Un corps est, en particulier, un anneau
-intègre.
+sont alors $0$ et lui-même).  Par convention, l'anneau nul n'est pas
+un corps.
+
+Un corps est, en particulier, un anneau intègre.
 
 Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal}
 lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon
@@ -119,6 +155,13 @@ $n$ est un nombre premier ; il est intègre exactement si $n$ est un
 nombre premier (le quotient étant alors le corps
 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).
 
+Pour donner un exemple moins évident, dans l'anneau $k[x,y]$ des
+polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps $k$, l'idéal $(y)$
+(des polynômes s'annulant identiquement sur l'axe des abscisses) est
+premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
+l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
+puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.
+
 \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
 dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
 symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
@@ -127,17 +170,21 @@ $\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$
 est le quotient de $A \times (A\setminus\{0\})$ par la relation
 d'équivalence qu'on vient de dire) ; la structure d'anneau est définie
 par $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = \frac{aq'+a'q}{qq'}$ et
-$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$.  À titre
-d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la
+$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$.  On a aussi un
+morphisme injectif $A \to \Frac(A)$ envoyant $a$ sur $\frac{a}{1}$, et
+on identifiera $A$ à son image par ce morphisme.
+
+À titre d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la
 définition de ce dernier).
 
-Le corps des fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété
-« universelle » suivante : si $K$ est un corps quelconque, et
-$\varphi\colon A \to K$ un morphisme d'anneaux injectif, il existe un
-unique morphisme de corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e.,
-extension de corps, cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e.,
-$\hat\varphi(a) = \varphi(a)$ si $a\in A$).  En effet, il suffit de
-définir $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$.
+\thingy\label{universal-property-of-fraction-field} Le corps des
+fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété « universelle »
+suivante : si $K$ est un corps quelconque, et $\varphi\colon A \to K$
+un morphisme d'anneaux injectif, il existe un unique morphisme de
+corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e., extension de corps,
+cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., $\hat\varphi(a) =
+\varphi(a)$ si $a\in A$).  En effet, il suffit de définir
+$\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$.
 
 \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
 polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
@@ -145,71 +192,139 @@ appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
 « fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$
 sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$.
 
-\subsection{Extensions algébriques et degré}
+\thingy\label{finite-integral-algebra-is-a-field} Le fait suivant sera
+important : si $k$ est un corps et $K$ une $k$-algèbre \emph{de
+  dimension finie} intègre, alors $K$ est, en fait, un corps.  En
+effet, une application $k$-linéaire $K \to K$ injective est
+automatiquement bijective, et en appliquant ce fait à la
+multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est
+inversible.
+
+\subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps}
+
+\thingy Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$ est un anneau), et
+$(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de
+toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une
+sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la
+plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$.  On l'appelle
+$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
+$k[x_i]_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui
+nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note
+$k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une
+$k$-algèbre \textbf{de type fini} (comme $k$-algèbre).
+
+\danger On prendra garde au fait que la même notation
+$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
+par $x_1,\ldots,x_n$ dans une $k$-algèbre $A$ plus grande, soit
+l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ sur $k$.
+Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que l'anneau des
+polynômes à $n$ indéterminées sur $k$ est bien la $k$-algèbre
+engendrée par les indéterminées (cf. le point suivant).  Il faut donc
+prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
+apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
+été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
+sont des indéterminées.
+
+\thingy\label{subalgebra-generated-is-polynomials} La $k$-algèbre
+engendrée par les $x_i$ dans $A$ peut encore se décrire concrètement
+comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui peuvent être obtenus
+à partir de $1$ et des $x_i$ par sommes, produits par éléments de $k$
+et produits binaires.  Autrement dit, ce sont les valeurs des
+polynômes à coefficients dans $k$ évalués en des $x_i$.  Pour dire les
+choses de façon plus sophistiquée, en supposant les $x_i$ en nombre
+fini pour simplifier (et indicés par $1,\ldots,n$), il existe un
+unique morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$ envoyant $t_i$ sur $x_i$, à
+savoir le morphisme « d'évaluation » qui à un $P \in
+k[t_1,\ldots,t_n]$ associe $P(x_1,\ldots,x_n)$, et $k[x_1,\ldots,x_n]$
+est l'\emph{image} de ce morphisme.  On peut donc dire qu'une
+$k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un
+\emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le
+noyau du morphisme d'évaluation).
 
 \thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
-\to K$ entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau
-est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc
-être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$
-soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on
-dit aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
-
-\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
-note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
-petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, i.e., l'intersection de
-tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
-cette propriété ; c'est encore le corps formé de tous les éléments de
-$K$ obtenus à partir de $x$ et de ceux de $k$ par sommes, différences,
-produits et quotients, c'est-à-dire le corps formé des valeurs en $x$
-de toutes les fractions rationnelles à une indéterminée sur $k$ qui
-sont bien définies en $x$.  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est
-une extension \textbf{monogène}.
-
-Plus généralement, si $x_i$ sont des éléments de $K$, on notera
-$k(x_i)$ (par exemple $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'ils sont en nombre fini)
-l'extension de $k$ engendrée par eux, c'est-à-dire le plus petit
-sous-corps de $K$ contenant les $x_i$.  Une extension $k \subseteq
-k(x_1,\ldots,x_n)$ engendrée par un nombre fini d'éléments est dite
-\textbf{de type fini}.
-
-\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
-désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
-plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une
-indéterminée $x$ sur $k$.  (Ces conventions sont cependant cohérentes
-en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée
-sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.)  Il
-faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation
-apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
-sous-entendu que $x$ est une indéterminée.  La même remarque vaut,
-\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
-petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
-une indéterminée $x$ sur $k$.  Mêmes remarques pour
-$k(x_1,\ldots,x_n)$ et $k[x_1,\ldots,x_n]$.
-
-\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
-existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
-l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
-sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
-k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement
-l'un des deux cas suivants se produit :
+\to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
+un corps).  Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
+noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut
+donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq
+K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée,
+on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$.  Un
+\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
+encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
+corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$.
+
+\thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension
+de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$,
+l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et
+les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$,
+c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant
+les $x_i$.  On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$)
+par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont
+en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés
+par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini}
+(comme extension de corps).
+
+\danger On prendra garde au fait que la même notation
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ peut désigner soit la sous-extension engendrée
+par $x_1,\ldots,x_n$ dans une extension $K$ plus grande, soit le corps
+des fractions rationnelles à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$
+sur $k$.  Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que le
+corps des fractions rationnelles à $n$ indéterminées sur $k$ est bien
+la sous-extension engendrée par les indéterminées (cf. le point
+suivant).  Comme dans le cas de la $k$-algèbre engendrée, il faut donc
+prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
+apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
+été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
+sont des indéterminées.
+
+\thingy\label{subfield-generated-is-quotients} La sous-extension
+engendrée (au-dessus de $k$) par les $x_i$ dans $K$ peut encore se
+décrire concrètement comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui
+peuvent être obtenus à partir des éléments de $k$ et des $x_i$ par
+sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls).  Autrement dit, ce
+sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$
+évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies).
+
+\subsection{Extensions algébriques et degré}
+
+\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est
+une extension de corps et $x\in K$, on a noté
+(cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée
+par $x$.  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension
+\textbf{monogène}.
+
+On se pose la question de mieux comprendre cette extension.  Pour
+cela, on introduit l'unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$, où
+$k[t]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$, qui
+envoie $t$ sur $x$, c'est-à-dire, le morphisme « d'évaluation »
+envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in k[t]$.  Le noyau de
+$\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement l'un des deux cas
+suivants se produit :
 \begin{itemize}
-\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
-  \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
-  de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$
-  est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$
-  sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que
-  $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément
-  $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des
-  fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$
-  comme une indéterminée) ;
-\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
+\item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on
+  dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$.  Dans ce cas, d'après
+  la propriété universelle du corps des fractions
+  (cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se
+  prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$
+  (où $k(t)$ est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée
+  $t$ sur $k$), envoyant $P/Q \in k(t)$ sur $P(x)/Q(x) \in K$, et
+  l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément $k(x)$
+  (cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}).  Ceci permet
+  d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une
+  indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée).
+\item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
   unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
   de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
-  \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image
-  de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension
-  $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ;
-  de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
-  on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
+  \textbf{entier}) sur $k$.  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
+  (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à
+  $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie
+  sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
+  est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de
+  dimension finie, c'est un corps
+  (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) =
+  k[x] = k[t]/(\mu_x)$ dans cette situation.  De plus, le polynôme
+  $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi on aurait deux
+  éléments dont le produit est nul dans $K$).
 \end{itemize}
 On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
 algébriques de degré $1$ sur $k$.
@@ -220,15 +335,17 @@ $k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien
 transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non
 constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un
 polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une
-extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de
-l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps
-$k(x) = k[t]/(\mu)$ est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme
-irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut
-encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient
-dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va
-de soi que le corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si
-$\mu$ est de degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x
-:= \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
+$k$-algèbre de dimension finie intègre donc
+(cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps
+de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est
+algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$
+est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
+sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de
+corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en
+revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le
+corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si $\mu$ est de
+degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$
+de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
 
 \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
 \textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
@@ -252,14 +369,15 @@ est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
 montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
   et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.
 
-On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$
-sont deux extensions imbriquées alors $[L:k] = [K:k]\, [L:K]$ (au sens
-où le membre de gauche est fini si et seulement si les deux facteurs
-du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est
-égal).  Cela résulte du fait plus précis que si $(x_\iota)_{\iota\in
-  I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une
-$K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in
-  I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée).
+\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K
+\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors
+$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si et
+seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans ce
+cas leur produit lui est égal).  Cela résulte du fait plus précis que
+si $(x_\iota)_{\iota\in I}$ est une $k$-base de $K$ et
+$(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_\iota
+y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base
+de $L$ (vérification aisée).
 
 \thingy Les deux faits suivants sont à noter :
 
@@ -283,9 +401,9 @@ certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
 Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
 $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
   indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
-  transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$
-à coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le
-polynôme nul, autrement dit, lorsque l'unique morphisme
+transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à
+coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le
+polynôme nul, autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation »
 $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des
 polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$
 est injectif.  En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant
@@ -307,8 +425,9 @@ indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des
 fractions rationnelles en $n$ indéterminées.  Réciproquement, si
 $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriquement indépendants, alors
 $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'identifie au corps des fractions rationnelles en
-$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu ci-dessus (en
-envoyant $P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur
+$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu
+en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy} ci-dessus (en envoyant
+$P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur
 $P(x_1,\ldots,x_n)/Q(x_1,\ldots,x_n)$).
 
 (On peut encore dire la même chose pour un nombre infini de $x_i$, à
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