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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 17 Mar 2016 17:07:10 +0100
Subject: Note reducible curves.

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 notes-accq205.tex | 39 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -2849,7 +2849,44 @@ signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur
 la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel}
 (cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le
 rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente
-variable.
+variable.  L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas
+anecdotique.
+
+\thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un
+corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme
+de deux carrés (de nouveau, on pensera principalement au corps des
+réels).  Le même argument que pour $x^2 + y^2 - 1$ montre que ce
+polynôme $P$ est irréductible, mais cette fois $k(C) := k(x,y :
+x^2+y^2=-1)$ \emph{n'est pas} isomorphe à $k(t)$.  En effet, un tel
+isomorphisme déterminerait deux éléments $x,y\in k(t)$ vérifiant
+$x^2+y^2=-1$ ; mais quitte à chasser les dénominateurs on obtient
+$x,y,z\in k[t]$ tels que $x^2+y^2+z^2=0$, et en prenant le
+dénominateur réduit, $x,y,z$ ne s'annulent pas simultanément en $0$,
+disons $z(0)\neq 0$ pour fixer les idées, et quitte à poser $u =
+x(0)/z(0)$ et $v = y(0)/z(0)$ on obtient $u^2 + v^2 = -1$,
+contredisant l'hypothèse faite sur $k$.
+
+En particulier, $\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2=-1)$ fournit un exemple
+d'une extension de corps de $\mathbb{R}$ de type fini et de degré de
+transcendance $1$ mais qui n'est pas trancendante pure.
+
+La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement
+une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point rationnel).
+
+\thingy Lorsque $P \in k[x,y]$ n'est pas irréductible, disons $P =
+P_1\,P_2$ avec $P_1,P_2$ non constants, alors $Z(P) = Z(P_1) \cup
+Z(P_2)$ : autrement dit, on a affaire non pas à une seule courbe mais
+à une réunion de courbes (certains auteurs appellent encore « courbe »
+cet objet).  Si on s'est placé dans le cadre où $(P)$ est radical,
+alors $P_1,P_2$ sont premiers entre eux, car s'ils avaient un diviseur
+commun $Q$ non-trivial, on aurait $P_1\,P_2/Q \in k[x,y]$ non nul
+modulo $P$ (puisque $Q$ est non-trivial) mais de carré nul (puisque
+c'est le produit de $P$ par $(P_1/Q)(P_2/Q) \in k[x,y]$), ce qui
+contredit la radicalité supposée.  Cet argument valant encore dans
+$k(x)[y]$, on a $k(x)[y]/(P) \cong k(x)[y]/(P_1) \times k(x)[y]/(P_2)$
+par le théorème chinois : autrement dit, $k(x)[y]/(P)$ n'est pas un
+corps dans ces conditions (et $k[x,y]/(P)$ n'est pas un anneau
+intègre : il a $P_1,P_2$ comme diviseurs de zéro).
 
 
 
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cgit v1.2.3

