From 61f7599bc4043d8710b0fe1c5ec81f051b4c03a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 17 Mar 2016 17:07:10 +0100 Subject: Note reducible curves. --- notes-accq205.tex | 39 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 38 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'notes-accq205.tex') diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 1659922..6f50830 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2849,7 +2849,44 @@ signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel} (cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente -variable. +variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas +anecdotique. + +\thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un +corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme +de deux carrés (de nouveau, on pensera principalement au corps des +réels). Le même argument que pour $x^2 + y^2 - 1$ montre que ce +polynôme $P$ est irréductible, mais cette fois $k(C) := k(x,y : +x^2+y^2=-1)$ \emph{n'est pas} isomorphe à $k(t)$. En effet, un tel +isomorphisme déterminerait deux éléments $x,y\in k(t)$ vérifiant +$x^2+y^2=-1$ ; mais quitte à chasser les dénominateurs on obtient +$x,y,z\in k[t]$ tels que $x^2+y^2+z^2=0$, et en prenant le +dénominateur réduit, $x,y,z$ ne s'annulent pas simultanément en $0$, +disons $z(0)\neq 0$ pour fixer les idées, et quitte à poser $u = +x(0)/z(0)$ et $v = y(0)/z(0)$ on obtient $u^2 + v^2 = -1$, +contredisant l'hypothèse faite sur $k$. + +En particulier, $\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2=-1)$ fournit un exemple +d'une extension de corps de $\mathbb{R}$ de type fini et de degré de +transcendance $1$ mais qui n'est pas trancendante pure. + +La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement +une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point rationnel). + +\thingy Lorsque $P \in k[x,y]$ n'est pas irréductible, disons $P = +P_1\,P_2$ avec $P_1,P_2$ non constants, alors $Z(P) = Z(P_1) \cup +Z(P_2)$ : autrement dit, on a affaire non pas à une seule courbe mais +à une réunion de courbes (certains auteurs appellent encore « courbe » +cet objet). Si on s'est placé dans le cadre où $(P)$ est radical, +alors $P_1,P_2$ sont premiers entre eux, car s'ils avaient un diviseur +commun $Q$ non-trivial, on aurait $P_1\,P_2/Q \in k[x,y]$ non nul +modulo $P$ (puisque $Q$ est non-trivial) mais de carré nul (puisque +c'est le produit de $P$ par $(P_1/Q)(P_2/Q) \in k[x,y]$), ce qui +contredit la radicalité supposée. Cet argument valant encore dans +$k(x)[y]$, on a $k(x)[y]/(P) \cong k(x)[y]/(P_1) \times k(x)[y]/(P_2)$ +par le théorème chinois : autrement dit, $k(x)[y]/(P)$ n'est pas un +corps dans ces conditions (et $k[x,y]/(P)$ n'est pas un anneau +intègre : il a $P_1,P_2$ comme diviseurs de zéro). -- cgit v1.2.3