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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 9 Apr 2016 15:42:20 +0200
Subject: Discuss (not necessarily algebraic) separable field extensions in a
 hopefully clearer way.

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 notes-accq205.tex | 110 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------
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@@ -5045,39 +5045,97 @@ est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise
 complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
 ci-dessus.
 
-\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle que (*) il existe
-une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est
-(algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$
-(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).  Alors
-$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in
-  I}$.
-
-De plus, l'hypothèse (*) qu'on vient de dire est vérifiée exactement
-quand les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement
-disjointes dans $K$ (comparer
-avec \ref{linear-criterion-for-separability}).  Elle est
-\emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et $k^{\alg}$
-de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en particulier
-lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski
+Pour une extension de corps, le $K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$
+est facile à décrire, à condition de faire une hypothèse de
+séparabilité que nous énonçons maintenant.
+
+\begin{prop}\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  Les propriétés suivantes
+sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item si la caractéristique est $p>0$, alors dans $K$, les corps $K^p$
+  et $k$ sont linéairement disjoints sur $k^p$
+  (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; i.e. les extensions $k^p
+  \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues dans $K$,
+  sont linéairement disjointes),
+\item il existe une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour
+  laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$
+  (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).
+\end{itemize}
+Lorsque ces deux conditions équivalentes sont satisfaites, on dit que
+$k \subseteq K$ est une extension (non nécessairement algébrique !)
+\defin[séparable (extension)]{séparable} (il va de soi, en vertu de la
+seconde condition, que pour une extension algébrique, on retrouve la
+définition de « séparable » donnée
+en \ref{definition-separable-algebraic-extension} ; comparer aussi
+avec \ref{linear-criterion-for-separability} pour la première
+condition ci-dessus dans le cas d'une extension algébrique).  Dans les
+conditions de la seconde condition, on dit aussi que $(t_i)_{i\in I}$
+est une base de transcendance \defin[séparante (base de
+  transcendance)]{séparante}.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
+\thingy\label{discussion-separability-of-function-fields} Toute
+extension de corps en caractéristique $0$ est séparable (la première
+condition
+de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions} doit se
+lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$).  Plus
+généralement, lorsque $k$ est \emph{parfait}
+(cf. \ref{definition-perfect-field}, par exemple, un corps fini),
+toute extension $k \subseteq K$ est séparable
+d'après \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field} (qui
+généralise donc la
+remarque \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}).
+
+Une autre condition suffisante pour que $k \subseteq K$ soit séparable
+est que $K$ et $k^{\alg}$ soient linéairement disjoints au-dessus
+de $k$ dans $K^{\alg}$ (il est facile de voir, en utilisant le fait
+que le Frobenius est un automorphisme de $K^{\alg}$, que ceci implique
+la première condition
+de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}).  Ceci
+s'applique lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski
 \emph{géométriquement} irréductible
 (cf. \ref{geometric-irreducibility},
-et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}).  Elle est par ailleurs
-aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait}
-(d'après \ref{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}).
+et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}).
+
+\underline{On retiendra donc surtout ceci :} si $K = k(C)$ est le
+corps des fractions d'une courbe sur un corps $k$ et qu'\emph{au moins
+  une} des hypothèses suivantes est satisfaite :
+\begin{itemize}
+\item le corps de base $k$ est parfait,
+\item la courbe $C$ est géométriquement irréductible (par exemple, $C$
+  est défini dans le plan par l'annulation d'un polynôme $P$
+  géométriquement irréductible, c'est-à-dire irréductible
+  sur $k^{\alg}$,
+  cf. \ref{example-curve-irreducible-but-not-geometrically}, ou plus
+  généralement par un fermé de Zariski géométriquement irréductible,
+  cf. \ref{function-field-of-an-irreducible-set}),
+\end{itemize}
+alors l'extension $k \subseteq K$ est séparable.
+
+Beaucoup d'auteurs limitent la notion de « corps de fonctions de
+  courbe » à ceux qui sont séparables sur le corps de base, voire, les
+corps de fonctions de courbes géométriquement irréductibles : on
+pourrait donc en faire de même.
+
+\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps séparable, et $(t_i)_{i\in
+  I}$ une base de transcendance séparante (i.e., telle que $K$ est
+algébrique séparable sur $k(t_i)_{i\in I}$,
+cf. \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}).
+Alors $\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base
+$(dt_i)_{i\in I}$.
 \end{prop}
 \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
 
-\thingy On retiendra surtout ceci : si $K = k(C)$ est le corps des
-fractions d'une courbe sur un corps $k$ parfait ou bien définie par un
-polynôme $P$ géométriquement irréductible dans le contexte
-de \ref{function-field-of-a-plane-curve} (ou plus généralement par un
-fermé de Zariski géométriquement irréductible), alors l'hypothèse
-de \ref{differentials-of-separable-field-extension} est satisfaite,
-donc : \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de
+\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est le corps des fractions d'une
+courbe sur un corps $k$ parfait ou bien géométriquement irréductible,
+alors \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de
   dimension $1$}, et une base en est donnée par n'importe quel $x\in
 K$ tel que $dx \neq 0$, ce qui donne du même coup un sens à
-$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$.
+$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$.
+
 
 
 
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