From 65828b1c1eeb8eaee00e7c87fcf2588aa68ac4ed Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 17 Mar 2016 17:50:24 +0100
Subject: Examples of singular curves.

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 notes-accq205.tex | 56 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -2941,6 +2941,62 @@ c'est redondant).  On rappelle
 $Z(I)$ est dit « irréductible » lorsqu'il n'est pas réunion de deux
 fermés strictement plus petits.
 
+\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
+données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
+On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
+fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
+\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
+simultanément.
+\begin{itemize}
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de
+  caractéristique $\neq 2$.  (Note : le polynôme $x^3 + x^2 - y$ est
+  irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$
+  en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc
+  facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale
+  $x=c$.)  Cette courbe porte le nom standard de « cubique nodale »,
+  et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ».
+  (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$
+  avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que
+  le polynôme $P''_{x,x} + P''_{x,y} u + P''_{y,y} u^2$ — qui définit
+  les directions des tangentes — n'a pas de zéro multiple sur la
+  clôture algébrique.)  On peut la paramétrer rationnellement en
+  utilisant $t$ la pente d'une droite variable par le point double
+  ordinaire $(0,0)$ et en cherchant les coordonnées de son autre point
+  d'intersection avec la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 =
+  x^3 + x^2$ on trouve le paramétrage $(x,y) = (t^2-1, t^3-t)$.  On
+  remarquera que ce paramétrage parcourt deux fois le point $(0,0)$
+  (une fois pour $t=+1$ et une fois pour $t=-1$), essentiellement une
+  fois par direction tangente en ce point (les deux tangentes sont
+  $y=x$ et $y=-x$).
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 - x^2$ sur un corps de
+  caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas un carré, par
+  exemple le corps des réels.  (De nouveau, on vérifie que ce polynôme
+  est irréductible.)  Le point $(0,0)$ est de nouveau un « point
+  double ordinaire », mais cette fois ses deux tangentes ne sont pas
+  rationnelles (« rationnelles » au sens « définies sur $k$ »).  On
+  peut toujours paramétrer rationnellement la courbe utilisant $t$ la
+  pente d'une droite variable par le point double ordinaire $(0,0)$ et
+  en cherchant les coordonnées de son autre point d'intersection avec
+  la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 = x^3 - x^2$ on trouve
+  le paramétrage $(x,y) = (t^2+1, t^3+t)$.  On remarquera que cette
+  fois le point $(0,0)$ est atteint par des coordonnées qui ne sont
+  pas dans $k$ (à savoir $\pm\sqrt{-1}$).
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible).  Cette
+  courbe porte le nom de « cubique cuspidale » parce que le point
+  $(0,0)$ est un « cusp ».  Le même procédé de paramétrage que
+  ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable
+  directement).  Cette fois-ci, il y a bien bijection, sur n'importe
+  quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 = x^3$ et les éléments
+  de $k$.
+\end{itemize}
+
+Dans chacun de ces exemples, le corps $k(C)$ des fonctions de la
+courbe est simplement le corps $k(t)$ (pour le paramétrage qu'on a
+donné), mais le fermé de Zariski $\{P=0\}$ présente des complications
+géométriques, et on pourrait se convaincre que l'anneau $k[x,y]/(P)$
+des fonctions régulières sur $\{P=0\}$ \emph{n'est pas}
+l'anneau $k[t]$.
+
 
 
 
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cgit v1.2.3

