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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 15 Feb 2016 14:48:16 +0100
Subject: An algebraic extension of a perfect field is perfect.

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@@ -401,7 +401,10 @@ suivants se produit :
   éléments dont le produit est nul dans $K$).
 \end{itemize}
 On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
-algébriques de degré $1$ sur $k$.
+algébriques de degré $1$ sur $k$.  On remarquera aussi que si $k
+\subseteq k' \subseteq K$, alors le polynôme minimal d'un $x\in K$
+sur $k'$ divise celui sur $k$ (car ce dernier annule $x$ et est à
+coefficients dans $k$ donc dans $k'$).
 
 \thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy-bis} La dichotomie
 décrite ci-dessus admet une sorte de réciproque : d'une part, si $t$
@@ -1174,7 +1177,7 @@ Un exemple de corps qui \emph{n'est pas} parfait est le corps
 $\mathbb{F}_p(t)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $t$
 sur $\mathbb{F}_p$, vu que l'élément $t$ n'a pas de racine $p$-ième.
 
-\thingy Si $k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans
+\thingy\label{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} Si $k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans
 un corps le contenant) est séparable : en effet, si $f$ est le
 polynôme minimal de $x$, on peut écrire $f(t) = f_0(t^{p^s})$ comme
 expliqué plus haut, mais quitte à appeler $f_1$ le polynôme dont les
@@ -1182,6 +1185,15 @@ coefficients sont les racines $p^s$-ièmes de ceux de $f_0$ (c'est là
 qu'on utilise la perfection de $k$), on a $f(t) = f_0(t^{p^s}) =
 (f_1(t))^{p^s}$, et ceci ne peut être irréductible que pour $s=0$.
 
+Réciproquement, si tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans un corps
+le contenant, ou, mieux, dans une clôture algébrique $K$ fixée) est
+séparable, alors $k$ est parfait : en effet, si $x\in k$, on peut
+considérer $y$ sa racine $p$-ième dans la clôture algébrique $K$ :
+puisque $t^p - x = (t-y)^p$ dans $K[t]$, toutes ses racines sont
+égales à $y$, donc le polynôme minimal de $y$ sur $k$ est de la forme
+$(t-y)^r$ pour un certain $1\leq r\leq p$, et s'il est séparable c'est
+que $r=1$ donc $y\in k$.
+
 \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem}
 Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$
 et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$
@@ -1237,6 +1249,20 @@ sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après
 \ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène.
 \end{proof}
 
+\begin{prop}
+Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait,
+alors $K$ est aussi parfait.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il
+suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable.  Mais un
+algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$
+(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau
+d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est
+séparable sur $k$, et comme son polynôme minimal sur $K$ divise celui
+sur $k$, il est séparable.
+\end{proof}
+
 % TODO:
 % * Extensions séparables, composées, sommes, produits.
 % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.
-- 
cgit v1.2.3

