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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 16 Mar 2016 12:51:43 +0100
Subject: Fix lots of typos (thanks, "Pjetri").

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index 58950c3..f2056a7 100644
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@@ -345,7 +345,7 @@ engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
 $A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées
 par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la
 famille donnée.  (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in
-  I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$
+  I}$ si et seulement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$
 appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.)
 
 \danger Attention : une sous-algèbre d'une algèbre de type fini n'est
@@ -506,7 +506,7 @@ soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie.
 
 Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
 est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
-au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$.  \textit{A contrio}, si $x$
+au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$.  \textit{A contrario}, si $x$
 est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
 montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
   et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.
@@ -527,7 +527,7 @@ aisée).
 algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques
 sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
 k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
-composée est fini).
+composée est finie).
 
 (1bis) En fait, sous ces conditions, on peut être un peu plus précis :
 $k(x_1,\ldots,x_n)$ a une base comme $k$-espace vectoriel formée de
@@ -734,10 +734,10 @@ les conditions de la proposition ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K :
   k]$, et d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi
 $[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$.
 
-Réciproquement, si pour pour deux extensions $k \subseteq K$ et $k
+Réciproquement, si pour deux extensions $k \subseteq K$ et $k
 \subseteq L$ contenues dans une même troisième on a l'égalité $[K.L :
   L] = [K : k]$ \emph{finie} (notons que si à la fois $k \subseteq K$
-et $k \subseteq L$ sont finines, il revient au même de supposer $[K.L
+et $k \subseteq L$ sont finies, il revient au même de supposer $[K.L
   : k] = [K : k] \cdot [L : k]$), on peut considérer une base
 (finie !)  de $K$ comme $k$-espace vectoriel, qui,
 d'après \ref{compositum-generated-by-products}, engendre $K.L$ comme
@@ -747,7 +747,7 @@ $K$ et $L$ sont linéairement disjointes.
 
 \begin{prop}\label{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps, et $t_1,\ldots,t_n$ des
-indéterminées.  Alors les extension $k\subseteq K$ et $k\subseteq
+indéterminées.  Alors les extensions $k\subseteq K$ et $k\subseteq
 k(t_1,\ldots,t_n)$ sont linéairement disjointes dans
 $K(t_1,\ldots,t_n)$, i.e., toute famille $k$-linéairement
 indépendante de $K$ est encore linéairement indépendante sur
@@ -1194,7 +1194,7 @@ isomorphes.
 Le (1) se montre comme
 \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de
 passage à l'infini : pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on construit
-un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs
+un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les corps
 de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont
 algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4).
 Le (2) et (2b) se montrent comme
@@ -1220,7 +1220,7 @@ soit scindés sur $L$.
 
 De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si
 il est égal à sa propre clôture algébrique.  Remarquons également
-qu'une cloture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un
+qu'une clôture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un
 corps de décomposition de \emph{tous} les polynômes à coefficients
 dans $K$.
 
@@ -1265,7 +1265,7 @@ de façon « canonique » de les identifier).
 \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables}
 
 \thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est
-le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneux
+le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneaux
 $\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$
 tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$
 termes dans la somme), ou bien $0$ si un tel entier n'existe pas :
@@ -1374,7 +1374,7 @@ particulier, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est
 séparable.
 
 On remarquera que si $k \subseteq k' \subseteq K$ est une tour
-d'extension, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier
+d'extensions, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier
 séparable sur $k'$ (car son polynôme minimal sur $k'$ divise celui
 sur $k$ et un polynôme divisant un polynôme séparable est séparable).
 
@@ -2399,7 +2399,7 @@ zéros communs dans $k^{\alg}$ de tous les éléments de $\mathscr{F}$.
 Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors
 $Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est
 « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) =
-\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un racourci de
+\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un raccourci de
 notation pour $Z(\{f\})$).
 
 Si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$ alors $Z(I) =
@@ -2450,7 +2450,7 @@ sur $E$, toutes leurs combinaisons $k[t_1,\ldots,t_n]$-linéaires s'y
 annulent aussi), et même un idéal radical (car si $f^n$ s'annule
 sur $E$ alors $f$ s'annule aussi).
 
-Remarques évidente : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E)
+Remarques évidentes : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E)
 \supseteq \mathfrak{I}(E')$ (la fonction $\mathfrak{I}$
 est « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $\mathfrak{I}(E) =
 \bigcap_{x\in E} \mathfrak{M}_x$ (où $\mathfrak{M}_x$ désigne l'idéal
@@ -2497,7 +2497,7 @@ algébriquement clos, le \emph{Nullstellensatz fort}
 besoin du lemme suivant :
 
 \begin{lem}
-Soit $k$ un corps et $k \subseteq k'$ une exension quelconque.  Soit
+Soit $k$ un corps et $k \subseteq k'$ une extension quelconque.  Soit
 $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$.  Soit $I'$ l'idéal engendré par
 $I$ dans $k'[t_1,\ldots,t_d]$ (c'est simplement le $k'$-espace
 vectoriel engendré par $I$) : alors $I' \cap k[t_1,\ldots,t_d] = I$.
@@ -2508,7 +2508,7 @@ contenant l'élément $v_0 := 1$ : alors $(v_i)$ est aussi une base de
 $k'[t_1,\ldots,t_d]$ comme $k[t_1,\ldots,t_d]$-module.  L'idéal $I'$
 contient l'ensemble $I^* := \bigoplus_{i\in\Lambda} v_i I$ des
 éléments de $k'[t_1,\ldots,t_d]$ dont toutes les coordonnées sur cette
-base appartiennent à $I$, qui est bien le $k'$-espace vecotirle
+base appartiennent à $I$, qui est bien le $k'$-espace vectoriel
 engendré par $I$ ; or on vérifie facilement que cet ensemble $I^*$ est
 un idéal (le produit d'un élément de $I^*$ par un élément de
 $k'[t_1,\ldots,t_d]$ est dans $I^*$ car si $f \in I$ et $g \in
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