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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 28 Feb 2016 00:43:09 +0100
Subject: Separable algebraic extensions: compositum, etc.

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@@ -507,6 +507,15 @@ sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
 k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
 composée est fini).
 
+(1bis) En fait, sous ces conditions, on peut être un peu plus précis :
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ a une base comme $k$-espace vectoriel formée de
+monômes en les $x_1,\ldots,x_n$ (c'est-à-dire d'expressions de la
+forme $x_1^{r_1}\cdots x_n^{r_n}$).  Ceci découle de la description de
+la base donnée en \ref{remark-multiplicativity-of-degree} appliquée au
+fait que chaque $k(x_1,\ldots,x_i)$ a une base sur
+$k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ formée des puissances de $x_i$ (jusqu'au degré
+de celui-ci exclu).
+
 (2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est
 à la fois algébrique et de type fini.  (Le sens « si » résulte de
 l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour
@@ -525,20 +534,20 @@ quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$.
 
 (4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors
 $k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n
-\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors
+\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $K$, alors
 $y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension
 finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension
 finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une
 extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$).
 
-\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est
-une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les
-éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement
-l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$,
-c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la
-plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle
-la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision
-« dans $K$ » est importante).
+\thingy\label{relative-algebraic-closure} L'observation (3) ci-dessus
+entraîne que si $k\subseteq K$ est une extension de corps, l'extension
+de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$ est
+tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$
+algébriques sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui
+est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique
+sur $k$ : on l'appelle la \textbf{fermeture algébrique} de $k$
+dans $K$ (la précision « dans $K$ » est importante).
 
 Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
   fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
@@ -625,11 +634,11 @@ indépendants sur $L$.  On a donc bien prouvé que $K$ et $L$ sont
 linéairement disjointes.
 \end{proof}
 
-\thingy Lorsque $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux
-extensions contenues dans une même troisième $M$, on appelle
-\textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le sous-corps de $M$ engendré
-par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L) = K(L) = L(K)$, et on le
-note $K.L$.
+\thingy\label{definition-compositum} Lorsque $k \subseteq K$ et $k
+\subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même
+troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le
+sous-corps de $M$ engendré par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L)
+= K(L) = L(K)$, et on le note $K.L$.
 
 \danger Il faut prendre garde au fait que l'extension composée n'a de
 sens que si les deux extensions sont contenues dans une même troisième
@@ -1182,7 +1191,7 @@ morphisme est surjectif..
 L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de
 montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique :
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-algebraic-closure}
 Soit $K$ un corps.  On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une
 extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$
 soit scindés sur $L$.
@@ -1215,7 +1224,7 @@ algébriquement clos.
 \end{proof}
 
 
-\subsection{Éléments séparables, corps parfaits, théorème de l'élément primitif}
+\subsection{Éléments et extensions séparables, corps parfaits, théorème de l'élément primitif}
 
 \thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est
 le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneux
@@ -1230,7 +1239,8 @@ $\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou
 a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est
 injectif.  On notera $k^p$ l'image de ce morphisme
 (cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps
-de $k$.
+de $k$.  Par exemple, $k^p[t]$ désigne l'anneau des polynômes dont les
+coefficients sont des puissances $p$-ièmes.
 
 L'application $x \mapsto x^{p^e}$ est l'itérée $e$-ième du Frobenius
 et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$.  Son
@@ -1257,12 +1267,13 @@ alors $e = 0$, et si $f$ est irréductible alors $f_0$ l'est aussi.
 suivant reviendra très souvent : si $g \in k[t]$ où $k$ est de
 caractéristique $p$, alors $g(t)^p = g^{\Frob}(t^p)$ où $g^{\Frob}$
 désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient de $g$ à la
-puissance $p$.  En effet, si on appelle $c_n$ le coefficient
-devant $t^n$ dans $g$, on a $(c_n t^n)^p = (c_n)^p (t^n)^p$.
+puissance $p$ (c'est donc un élément de $k^p[t]$).  En effet, si on
+appelle $c_n$ le coefficient devant $t^n$ dans $g$, on a $(c_n t^n)^p
+= (c_n)^p (t^n)^p$.
 
 On a bien sûr de même $g(t)^{p^e} = g^{\Frob^e}(t^{p^e})$ où
-$g^{\Frob^e}$ désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient
-de $g$ à la puissance $p^e$.
+$g^{\Frob^e} \in k^{p^e}[t]$ désigne le polynôme obtenu en élevant
+chaque coefficient de $g$ à la puissance $p^e$.
 
 \begin{lem}\label{power-in-kp-lemma}
 Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, et soit $h \in k[t]$ un
@@ -1274,7 +1285,7 @@ Comme $i$ est premier avec $p$, on peut trouver une relation de Bézout
 $ui = 1 + vp$ avec $u,v\in\mathbb{N}$.  On a alors $(h^i)^u = h\cdot
 (h^p)^v$ avec $h^i \in k^p[t]$ par hypothèse et $h^p \in k^p[t]$
 d'après \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}.  On a donc $h \in
-k^p(t)$ (comme quotient de $(h^i)^u$ par $(h^p)^v$) et $h \in k[t]$,
+k^p(t)$ (comme quotient de $(h^i)^u$ par $(h^p)^v$), et $h \in k[t]$,
 et il suffit d'appliquer la remarque (triviale mais importante) que si
 $k_0 \subseteq k$ est une extension de corps alors $k_0(t) \cap k[t] =
 k_0[t]$.
@@ -1285,8 +1296,8 @@ Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, soit $f_0 \in k[t]$
 unitaire irréductible, et soit $f(t) := f_0(t^{p^e})$ où $e>0$.  Alors
 $f$ est réductible (i.e., n'est pas irréductible) si et seulement si
 les coefficients de $f_0$ (ou de façon équivalente, ceux de $f$) sont
-des puissances $p$-ièmes, i.e., ssi $f_0 \in k^p[t]$.  De plus, dans
-ce cas, $f$ est en fait une puissance $p$-ième
+des puissances $p$-ièmes, i.e., si et seulement si $f_0 \in k^p[t]$.
+De plus, dans ce cas, $f$ est en fait une puissance $p$-ième
 (cf. \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}).
 \end{prop}
 \begin{proof}
@@ -1300,9 +1311,9 @@ Montrons la réciproque : supposons que les coefficients de $f_0$ ne
 soient pas tous des puissances $p$-ièmes, et on veut montrer que $f$
 est irréductible.  Par récurrence, on se ramène au cas $e=1$,
 c'est-à-dire $f(t) = f_0(t^p)$.  Comme $\Frob_p$ est un isomorphisme
-entre $k$ et $k^p$, il suffit de montrer que $\Frob_p(f) =: f^{\Frob}$
-est irréductible dans $k^p[t]$.  Or on a $f^{\Frob} = f_0(t)^p$ comme
-au paragraphe précédent : dans $k[t]$, il s'agit d'une factorisation
+entre $k$ et $k^p$, il suffit de montrer que $f^{\Frob}$ est
+irréductible dans $k^p[t]$.  Or on a $f^{\Frob} = f_0(t)^p$ comme au
+paragraphe précédent : dans $k[t]$, il s'agit d'une factorisation
 irréductible (car on a supposé $f_0$ irréductible) ; donc tout
 diviseur unitaire non-constant de $f^{\Frob}$ dans $k[t]$, et en
 particulier tout facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$,
@@ -1310,18 +1321,24 @@ doit être de la forme $f_0^i$ pour un certain $1\leq i\leq p$.  Mais
 si $f_0^i \in k^p[t]$ pour $i<p$, le lemme \ref{power-in-kp-lemma}
 montre que $f_0 \in k^p[t]$, et on a supposé le contraire : c'est donc
 que le seul facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$
-est $f_0^p$, donc que $f^{\Frob}$ est irréductible dans $k^p[t]$ donc
-que $f$ l'est dans $k[t]$.
+est $f_0^p = f^{\Frob}$ lui-même, donc que $f^{\Frob}$ est
+irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$.
 \end{proof}
 
 \thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$
 est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$
 est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal
 l'est.  D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout
-algébrique est séparable, et en caractéristique $p$, pour tout
-algébrique $x$ il existe un $e$ tel que $x^{p^e}$ soit séparable et de
-degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ (notamment, si $\deg(x)$ n'est pas
-multiple de $p$, alors $x$ est séparable).
+algébrique est séparable ; et en caractéristique $p$, pour tout
+algébrique $x$ il existe un $e$ unique tel que $x^{p^e}$ soit
+séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$, et en
+particulier, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est
+séparable.
+
+On remarquera que si $k \subseteq k' \subseteq K$ est une tour
+d'extension, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier
+séparable sur $k'$ (car son polynôme minimal sur $k'$ divise celui
+sur $k$ et un polynôme divisant un polynôme séparable est séparable).
 
 \begin{prop}\label{separable-inseparable-dichotomy}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$,
@@ -1351,43 +1368,19 @@ de $x$ sur $k$, et on a $\deg(f) = p\cdot \deg(f_0)$ donc $\deg(x) =
 p\cdot \deg(x^p)$.
 \end{proof}
 
-\thingy On peut donner encore une autre condition équivalente au fait
-qu'un élément $x \in K$ algébrique sur un sous-corps $k$ soit
-séparable (en caractéristique $p>0$) : on vient de voir que cela
-équivaut à $\deg(x^p) = \deg(x)$ ou à $k(x^p) = k(x)$ ; mais comme on
-a de toute manière $[k(x):k] = [k^p(x^p) : k^p]$ (puisque le Frobenius
-est un isomorphisme entre $k(x)$ et $k^p(x^p)$), la séparabilité
-de $x$ équivaut aussi à $[k(x^p):k] = [k^p(x^p) : k^p]$, c'est-à-dire,
+\thingy\label{linear-criterion-for-separability} On peut donner encore
+une autre condition équivalente au fait qu'un élément $x \in K$
+algébrique sur un sous-corps $k$ soit séparable (en
+caractéristique $p>0$) : on vient de voir que cela équivaut à
+$\deg(x^p) = \deg(x)$ ou à $k(x^p) = k(x)$ ; mais comme on a de toute
+manière $[k(x):k] = [k^p(x^p) : k^p]$ (puisque le Frobenius est un
+isomorphisme entre $k(x)$ et $k^p(x^p)$), la séparabilité de $x$
+équivaut aussi à $[k(x^p):k] = [k^p(x^p) : k^p]$, c'est-à-dire,
 d'après \ref{linear-disjointness-and-degrees}, au fait que les
 extensions $k^p(x^p)$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes
-(cf. \ref{definition-linear-disjointness}).
-
-Avec ce critère, on démontre immédiatement la proposition suivante :
-
-\begin{prop}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps et $x\in K$ algébrique
-séparable sur $k$.  Alors tout $y \in k(x)$ est (algébrique) séparable
-sur $k$.
-\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration directe]
-Soit $d = \deg(x)$, si bien que $1,x,x^2,\ldots,x^{d-1}$ est une base
-de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel.  Écrivons $y^j =
-\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ sur cette base, pour $0\leq j\leq d'-1$
-avec $d' = \deg(y)$ : le fait que $y$ soit de degré $d'$ entraîne que
-$1,y,\ldots,y^{d'-1}$ sont linéairement indépendants sur $k$,
-autrement dit la matrice des $c_{i,j}$ est de rang $d'$.  Maintenant,
-en élevant $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ à la puissance $p$, on
-trouve $y^{pj} = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x^{pi}$.  Comme $x$ est
-séparable, $x^p$ est de degré $d$ et $1,x^p,\ldots,x^{p(d-1)}$ est une
-base de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel.  La matrice des $c_{i,j}^p$
-est de rang $d'$ car le Frobenius est un isomorphisme de $k$ sur $k^p$
-et que \emph{le rang d'une matrice ne dépend pas du corps sur lequel
-  on la considère}.  Des trois dernières phrases, on déduit que
-$1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ sont linéairement indépendants sur $k$,
-c'est-à-dire que $\deg(y^p) \geq d'$, l'inégalité dans le sens
-contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est
-séparable.
-\end{proof}
+(cf. \ref{definition-linear-disjointness}).  C'est cette façon de voir
+les choses qui va inspirer l'énoncé et la démonstration
+de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}.
 
 \thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension
 de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou
@@ -1395,40 +1388,127 @@ que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément
 de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
 C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$.
 
-La
-proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
-signifie ainsi que si $x$ est séparable sur $k$ alors $k(x)$ est
-séparable (la réciproque est triviale).
+\begin{prop}\label{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps \emph{finie} de
+caractéristique $p$ telle que $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace
+vectoriel.  Alors $K$ est séparable sur $k$.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration utilisant \ref{linear-disjointness-and-degrees}]
+On a $[K^p : k^p] = [K : k]$ car $\Frob$ est un isomorphisme de $K$
+sur $K^p$.  Par hypothèse, $K = K^p.k$
+(cf. \ref{definition-compositum} pour la notation, et
+cf. aussi \ref{compositum-generated-by-products}) : ainsi, $[K^p.k :
+  k] = [K^p : k^p]$, donc
+d'après \ref{linear-disjointness-and-degrees} les extensions $K^p$ et
+$k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes.  En particulier, si $y\in
+K$, les extensions $k^p(y^p)$ et $k$ sont linéairement disjointes, ce
+qui d'après \ref{linear-criterion-for-separability} implique que $y$
+est séparable sur $k$.
+\end{proof}
 
-\begin{prop}
-Soit $k \subseteq K$ une extension algébrique.  Elle est séparable si
-et seulement si $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel.
+\begin{proof}[Démonstration directe (déroulée)]
+Soit $d = [K:k]$ et soit $x_1,\ldots,x_d$ une base de $K$ comme
+$k$-espace vectoriel.  Soit $y \in K$ : on veut montrer que $y$ est
+séparable sur $k$.  Écrivons $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x_i$ sur
+cette base, pour $0\leq j\leq d'-1$ avec $d' = \deg(y)$ : le fait que
+$y$ soit de degré $d'$ entraîne que $1,y,\ldots,y^{d'-1}$ sont
+linéairement indépendants sur $k$, autrement dit la matrice des
+$c_{i,j}$ est de rang $d'$.  Maintenant, en élevant $y^j =
+\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x_i$ à la puissance $p$, on trouve $y^{pj} =
+\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x_d^p$.
+
+L'hypothèse que $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel signifie
+que tout élément de $K$ peut s'écrire comme combinaison linéaire
+d'éléments de $K^p$ à coefficients dans $k$ ; comme les éléments de
+$K^p$ peuvent eux-mêmes s'écrire comme combinaisons linéaires des
+$x_1^p,\ldots,x_d^p$ à coefficients dans $k^p$ (donc dans $k$), on
+voit que $x_1^p,\ldots,x_d^p$ engendrent $K$ comme $k$-espace
+vectoriel, donc en sont une base (puisque $[K:k] = d$).
+
+Or la matrice des $c_{i,j}^p$ est de rang $d'$ car le Frobenius est un
+isomorphisme de $k$ sur $k^p$ et que \emph{le rang d'une matrice ne
+  dépend pas du corps sur lequel on la considère}.  Des trois
+dernières phrases, on déduit que $1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ sont
+linéairement indépendants sur $k$, c'est-à-dire que $\deg(y^p) \geq
+d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p)
+= \deg(y)$ et $y$ est séparable.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  Si $x_1,\ldots,x_n$ sont
+des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur
+$k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ pour chaque $1\leq i\leq n$, alors
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ est séparable sur $k$.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-Si $K$ est séparable sur $k$, tout élément $x\in K$ est séparable
-sur $k$, c'est-à-dire appartient à $k(x^p)$ donc appartient au
-$k$-espace vectoriel engendré par les $x^{pi}$, donc notamment
-par $K^p$.
+En caractéristique $0$, il n'y a rien à prouver : plaçons-nous en
+caractéristique $p > 0$.
+
+Comme $x_1$ est séparable sur $k$, on a $k(x_1) = k(x_1^p)$ ; comme
+$x_2$ est séparable sur $k(x_1)$, on a $k(x_1,x_2) = k(x_1)(x_2) =
+k(x_1)(x_2^p) = k(x_1^p)(x_2^p) = k(x_1^p,x_2^p)$, et en procédant
+ainsi de suite on voit que $k(x_1,\ldots,x_n) =
+k(x_1^p,\ldots,x_n^p)$.  L'hypothèse
+de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions} est donc
+vérifiée (les monômes en $x_1^p,\ldots,x_n^p$
+engendrent $k(x_1,\ldots,x_n)$ comme $k$-espace vectoriel,
+cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1bis)), donc
+$k(x_1,\ldots,x_n)$ est séparable sur $k$.
+\end{proof}
+
+\begin{cor}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
+Soit $K = k(x_i)_{i\in I}$ avec les $x_i$ algébriques séparables
+sur $k$.  Alors tout $K$ est (algébrique) séparable sur $k$.
+(Comparer avec \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).)
 
-\textcolor{red}{...}
+Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de
+quantités algébriques séparables sur $k$ sont algébriques séparables
+sur $k$.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Il s'agit de montrer que tout élément de $K$ est séparable sur $k$ :
+comme tout élément de $K = k(x_i)_{i\in I}$ s'écrit en utilisant un
+ensemble fini des $x_i$, i.e., appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour $J
+\subseteq I$ fini (cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}), on peut
+supposer que $J$ est fini, disons $J = \{1,\ldots,n\}$, bref $K =
+k(x_1,\ldots,x_n)$.  Chaque $x_i$ est séparable sur $k$ donc \textit{a
+  fortiori} sur $k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ et le résultat découle
+de \ref{tower-of-finite-separable-extensions}.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}
+\begin{cor}\label{tower-of-separable-extensions-is-separable}
 Soit $k \subseteq K \subseteq L$ une tour d'extensions algébriques.
 Si $K$ est séparable sur $k$ et $L$ est séparable sur $K$, alors $L$
 est séparable sur $k$ (la réciproque est claire).
-\end{prop}
+
+(Comparer avec \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4).)
+\end{cor}
 \begin{proof}
-La proposition précédente montre que $K^p$ engendre $K$ comme
-$k$-espace vectoriel, et que $L^p$ engendre $L$ comme $K$-espace
-vectoriel.  Si $x \in L$, on peut écrire $x$ comme combinaison
-linéaire à coefficients dans $K$ d'éléments de $L^p$, et les
-coefficients peuvent eux-mêmes se réécrire comme combinaisons
-linéaires à coefficients dans $k$ d'éléments de $K^p$ : on a donc
-écrit $x$ comme combinaison linéaire à coefficients dans $k$
-d'éléments de $L^p$, et ceci montre que $L$ est séparable sur $k$.
+Si $y\in L$ et si $x_1,\ldots,x_n \in K$ sont les coefficients du
+polynôme minimal de $y$ sur $K$, alors $y$ est algébrique séparable
+sur $k(x_1,\ldots,x_n)$ et $x_1,\ldots,x_n$ sont séparables sur $k$ :
+le résultat découle de \ref{tower-of-finite-separable-extensions}.
 \end{proof}
 
+\thingy\label{separable-closure} (Comparer
+avec \ref{relative-algebraic-closure}.)  La
+proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}
+entraîne que si $k\subseteq K$ est une extension de corps, l'extension
+de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques séparables
+sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments
+de $K$ algébriques séparables sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble
+est un corps, qui est manifestement la plus grande extension
+intermédiaire algébrique séparable sur $k$ : on l'appelle la
+\textbf{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$.
+
+La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$
+(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \textbf{clôture
+  séparable} de $k$.  Si $k$ est égal à sa clôture séparable (i.e.,
+séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est
+\textbf{séparablement clos}.
+
+\bigbreak
+
 \begin{defn}\label{definition-perfect-field}
 Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de
 caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le
@@ -1464,11 +1544,25 @@ que $r=1$ donc $y\in k$.
 
 Bien sûr, on peut aussi dire qu'un corps $k$ est parfait si et
 seulement si toute extension algébrique de $k$ est séparable
-(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).
+(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}
+et \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}).
+
+\begin{prop}
+Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait,
+alors $K$ est aussi parfait.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il
+suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable.  Mais un
+algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$
+(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau
+d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est
+séparable sur $k$ donc sur $K$.
+\end{proof}
 
 \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem}
 Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$
-et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$
+et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne suppose pas que $x_1$
 soit séparable).  Alors l'extension $k\subseteq K$ est monogène,
 c'est-à-dire qu'il existe $y \in K$ tel que $K = k(y)$.
 \end{prop}
@@ -1511,32 +1605,19 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut.
 \end{proof}
 
 \begin{cor}
-Toute extension finie d'un corps parfait est monogène.
+Toute extension finie séparable d'un corps parfait est monogène.  En
+particulier, toute extension finie d'un corps parfait est monogène.
 \end{cor}
 \begin{proof}
-Soit $k$ un corps parfait, $k \subseteq K$ une extension finie :
-d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée
-par un nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables
-sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après
-\ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène.
-\end{proof}
-
-\begin{prop}
-Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait,
-alors $K$ est aussi parfait.
-\end{prop}
-\begin{proof}
-D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il
-suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable.  Mais un
-algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$
-(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau
-d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est
-séparable sur $k$, et comme son polynôme minimal sur $K$ divise celui
-sur $k$, il est séparable.
+Soit $k \subseteq K$ une extension finie séparable : d'après
+\ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée par un
+nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables sur $k$
+par définition, et d'après \ref{primitive-element-theorem},
+l'extension est monogène.  Si $k$ est parfait, toute extension
+algébrique de $k$ est séparable.
 \end{proof}
 
 % TODO:
-% * Extensions séparables, composées, sommes, produits.
 % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.
 % * Différentielles.
 % * Valuations.  Clôture intégrale ?
-- 
cgit v1.2.3

