From 8d923e731a37ee96a9949fc6f2b4adc7613a0d59 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 3 Apr 2016 12:31:30 +0200
Subject: Another equivalent condition to being a local ring.

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 notes-accq205.tex | 62 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------
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@@ -3785,11 +3785,14 @@ en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les
 valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes.
 
 \begin{prop}\label{local-rings}
-Les deux propriétés suivantes sur un anneau $R$ sont équivalentes :
+Les deux propriétés suivantes sur un anneau non nul $R$ sont
+équivalentes :
 \begin{itemize}
-\item $R$ a un unique idéal maximal,
-\item le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des unités
-  de $R$ est un idéal (forcément maximal)
+\item[(i)]$R$ a un unique idéal maximal,
+\item[(ii)]le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des
+  unités de $R$ est un idéal (forcément maximal),
+\item[(iii)]pour tout $x\in R$, soit $x$ est inversible, soit $1-cx$
+  est inversible pour tout $c\in R$.
 \end{itemize}
 Un anneau vérifiant ces propriétés est appelé un anneau \defin[local
   (anneau)]{local}.
@@ -3799,16 +3802,47 @@ Soit $R^\times$ l'ensemble des unités de $R$.  Comme une unité
 engendre l'idéal (unité !) $R$, tout idéal autre que $R$ est inclus
 dans le complémentaire $R \setminus R^\times$.
 
-Si $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout élément $x
-\in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal $(x)$ qui est
-inclus dans $\mathfrak{m}$ d'après \ref{existence-maximal-ideals},
-donc $x \in \mathfrak{m}$ : ceci montre $(R\setminus R^\times)
-\subseteq \mathfrak{m}$, et l'inclusion réciproque résulte du
-paragraphe précédent.
-
-Réciproquement, si $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a expliqué
-qu'il continent tout autre idéal strict, et en particulier, il est
-maximal.
+Si (i) $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout
+élément $x \in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal
+$(x)$ qui est inclus dans $\mathfrak{m}$
+d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x \in \mathfrak{m}$ :
+ceci montre $(R\setminus R^\times) \subseteq \mathfrak{m}$, et
+l'inclusion réciproque résulte du paragraphe précédent, donc
+$(R\setminus R^\times) = \mathfrak{m}$ et en particulier on a (ii).
+
+Réciproquement, si (ii) $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a
+expliqué qu'il contient tout autre idéal strict, et en particulier, il
+est l'unique idéal maximal, ce qui montre (i).
+
+Considérons l'ensemble $\mathop{\mathrm{rad}} R$ des $x \in R$ tels
+que $1-cx$ soit inversible pour tout $c \in R$.  Sans aucune hypothèse
+sur $R$, on peut faire les observations suivantes : si $x \in
+\mathop{\mathrm{rad}} R$ et $a \in R$ alors $ax \in
+\mathop{\mathrm{rad}} R$ (car $1-cax$ est de la forme $1-c'x$
+où $c'=ca$) ; dire que $1-cx$ est inversible pour tout $c \in R$
+équivaut à dire que $u-cx$ est inversible pour tout $c \in R$ et tout
+$u \in R^\times$ (cette dernière condition est \textit{a priori} plus
+forte, mais comme $u-cx = u(1-c'x)$ où $c'=u^{-1}c$, le fait que $x
+\in \mathop{\mathrm{rad}} R$ entraîne bien cette condition plus
+forte) ; enfin, si $x,y\in \mathop{\mathrm{rad}} R$ alors $1-c(x+y) =
+(1-cx)-cy$ est de la forme $u-cy$ où $u\in R^\times$ donc est
+inversible : tout ceci montre que $\mathop{\mathrm{rad}} R$ est un
+\emph{idéal}\footnote{On l'appelle \textbf{idéal de Jacobson} de $R$,
+  et on peut montrer que c'est toujours l'intersection des idéaux
+  \emph{maximaux} de $R$ : comparer avec \ref{nilradical-facts}.}
+de $R$.  Manifestement, les conditions $x \in R^\times$ et $x \in
+\mathop{\mathrm{rad}} R$ sont toujours incompatibles (prendre pour $c$
+l'inverse de $x$) dans un anneau non-nul.
+
+On vient de voir que $\mathop{\mathrm{rad}} R$ est un idéal strict,
+i.e., contenu dans $R\setminus R^\times$ : si (iii) leur union
+est $R$, alors ils sont complémentaires, donc le complémentaire de
+$R\setminus R^\times$ est un idéal, ce qui montre (ii).
+
+Enfin, si (ii) $R\setminus R^\times$ est un idéal $\mathfrak{m}$, et
+si $x \not\in R^\times$, c'est-à-dire $x\in \mathfrak{m}$, alors $cx
+\in\mathfrak{m}$ quel que soit $c\in R$, donc $1-cx$ est
+dans $R^\times$, et on a bien montré (iii).
 \end{proof}
 
 \thingy Un exemple d'anneau local est celui formé des fractions
-- 
cgit v1.2.3

