From 901f49c90fa0346f5701227a531ed402ffed9364 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 9 Apr 2016 21:30:28 +0200
Subject: Start reworking the section on differentials (various mistakes still
 to be fixed).

---
 notes-accq205.tex | 214 +++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 132 insertions(+), 82 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 4293d6f..bbe6c2d 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5019,72 +5019,77 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe :
 \subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials}
 
 \begin{defn}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps (ou plus généralement $K$
-une algèbre sur un anneau $k$, auquel cas remplacer « espace
-vectoriel » par « module » dans ce qui suit).  On appelle espace des
-\defin{différentielles de Kähler} de $K$ sur $k$, et on note
-$\Omega^1_{K/k}$, le $K$-espace vectoriel engendré par des symboles
-formels $dx$ pour chaque $x \in K$, sujets aux relations :
+Soit $k$ un corps (ou même un anneau) et $A$ une $k$-algèbre.  On
+appelle espace des \defin{différentielles de Kähler} de $A$ sur $k$,
+et on note $\Omega^1_{A/k}$, le $A$-module engendré par des symboles
+formels $dx$ (ou $d_A x$ si on veut être plus précis) pour chaque $x
+\in A$, sujets aux relations :
 \begin{itemize}
-\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in K$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in
-  k$ et $x\in K$ (i.e., $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$
+\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in A$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in
+  k$ et $x\in A$ (i.e., $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$
   est $k$-linéaire), et
-\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in K$
+\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in A$
 \end{itemize}
-(autrement dit, $\Omega^1_{K/k}$ est le quotient du $K$-espace
-vectoriel libre de base $\{dx : x\in K\}$ par le sous-espace vectoriel
-engendré par les relations qu'on vient de dire, par exemple les
-$d(x+x') - dx -dx'$).
+(autrement dit, $\Omega^1_{A/k}$ est le quotient du $A$-module libre
+de base $\{dx : x\in A\}$ par le sous-module engendré par les
+relations qu'on vient de dire, autrement dit les $d(x+x') - dx -dx'$
+pour $x,x'\in A$, les $d(cx) - c\,dx$ pour $c\in k$ et $x\in A$ et les
+$d(xy) - x\,dy - y\,dx$ pour $x,y\in A$).
 \end{defn}
 
 \thingy Cette définition n'est pas très élégante.  Une définition plus
-satisfaisante serait de dire que $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$ a la
-propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon K
-\to V$ (où $V$ est un $K$-espace-vectoriel) $k$-linéaire vérifiant
-$\delta(xy) = x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est
-une \defin{dérivation} de $K$ à valeurs dans $V$) se factorise de
-façon unique par $d$ (i.e., il existe une application $K$-linéaire
-$u\colon \Omega^1_{K/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$).  Il
-est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise
-complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
+satisfaisante serait de dire que $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$ a la
+propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon A
+\to M$ (où $M$ est un $A$-module) $k$-linéaire vérifiant $\delta(xy) =
+x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est une
+\defin{dérivation} de $A$ à valeurs dans $V$) se factorise de façon
+unique par $d$ (i.e., il existe une application $A$-linéaire $u\colon
+\Omega^1_{A/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$).  Il est
+purement formel de vérifier que cette propriété caractérise
+complètement $\Omega^1_{A/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini
 ci-dessus.
 
-Pour une extension de corps, le $K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$
-est facile à décrire, à condition de faire une hypothèse de
-séparabilité que nous énonçons maintenant.
+Pour une extension de corps $k \subseteq K$, le $K$-module
+$\Omega^1_{K/k}$ est facile à décrire, à condition de faire une
+hypothèse de séparabilité que nous énonçons maintenant.
 
-\begin{prop}\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  Les propriétés suivantes
-sont équivalentes :
+\begin{prop}\label{separable-iff-separating-transcendence-basis}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de type fini.  Les
+propriétés suivantes sont équivalentes :
 \begin{itemize}
 \item si la caractéristique est $p>0$, alors dans $K$, les corps $K^p$
   et $k$ sont linéairement disjoints sur $k^p$
   (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; i.e. les extensions $k^p
   \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues dans $K$,
   sont linéairement disjointes),
-\item il existe une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour
-  laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$
+\item il existe une base de transcendance $(t_1,\ldots,t_n)$ pour
+  laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable}
+  sur $k(t_1,\ldots,t_n)$
   (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}).
 \end{itemize}
+(Plus généralement, si on ne suppose plus $k \subseteq K$ de type
+fini, la première condition est équivalente à la seconde pour toutes
+les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.)
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
+\thingy\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}
 Lorsque ces deux conditions équivalentes sont satisfaites, on dit que
-$k \subseteq K$ est une extension (non nécessairement algébrique !)
-\defin[séparable (extension)]{séparable} (il va de soi, en vertu de la
-seconde condition, que pour une extension algébrique, on retrouve la
-définition de « séparable » donnée
+l'extension $k \subseteq K$ (non nécessairement algébrique !)  est
+\defin[séparable (extension)]{séparable}.  (Il va de soi, en vertu de
+la seconde condition, que pour une extension algébrique, on retrouve
+la définition de « séparable » donnée
 en \ref{definition-separable-algebraic-extension} ; comparer aussi
 avec \ref{linear-criterion-for-separability} pour la première
-condition ci-dessus dans le cas d'une extension algébrique).  Dans les
-conditions de la seconde condition, on dit aussi que $(t_i)_{i\in I}$
-est une base de transcendance \defin[séparante (base de
-  transcendance)]{séparante}.
-\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+condition ci-dessus dans le cas d'une extension algébrique.)  Dans les
+conditions de la seconde condition, on dit aussi que
+$(t_1,\ldots,t_n)$ est une base de transcendance \defin[séparante
+  (base de transcendance)]{séparante}.
 
 \thingy\label{discussion-separability-of-function-fields} Toute
 extension de corps en caractéristique $0$ est séparable (la première
-condition
-de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions} doit se
-lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$).  Plus
+condition de \ref{separable-iff-separating-transcendence-basis} doit
+se lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$).  Plus
 généralement, lorsque $k$ est \emph{parfait}
 (cf. \ref{definition-perfect-field}, par exemple, un corps fini),
 toute extension $k \subseteq K$ est séparable
@@ -5094,10 +5099,11 @@ remarque \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}).
 
 Une autre condition suffisante pour que $k \subseteq K$ soit séparable
 est que $K$ et $k^{\alg}$ soient linéairement disjoints au-dessus
-de $k$ dans $K^{\alg}$ (il est facile de voir, en utilisant le fait
-que le Frobenius est un automorphisme de $K^{\alg}$, que ceci implique
-la première condition
-de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}).  Ceci
+de $k$ dans $K^{\alg}$ (on parle d'extension \defin[régulière
+  (extension)]{régulière} dans ce contexte ; il est facile de voir, en
+utilisant le fait que le Frobenius est un automorphisme de $K^{\alg}$,
+que ceci implique la première condition
+de \ref{separable-iff-separating-transcendence-basis}).  Ceci
 s'applique lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski
 \emph{géométriquement} irréductible
 (cf. \ref{geometric-irreducibility},
@@ -5125,44 +5131,41 @@ Beaucoup d'auteurs limitent la notion de « corps de fonctions de
 corps de fonctions de courbes géométriquement irréductibles : on
 pourrait donc en faire de même.
 
+\danger L'hypothèse « $k$ parfait » simplifie beaucoup de choses, mais
+elle ne trivialise pas pour autant \emph{toutes} les questions de
+séparabilité : notamment, même si $k$ est parfait, il n'est pas vrai
+que toute base de transcendance de $K$ sur $k$ soit automatiquement
+une base de transcendance séparante (contre-exemple : en
+caractéristique $p>0$, si $k(t)$ désigne le corps des fractions
+rationnelles, $t^p$ est une base de transcendance de $k(t)$ sur $k$,
+et pourtant elle n'est pas séparante, car l'extension $k(t^p)
+\subseteq k(t)$ n'est pas séparable).
+
 \begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension}
-Soit $k \subseteq K$ une extension de corps séparable, et $(t_i)_{i\in
-  I}$ une base de transcendance séparante (i.e., telle que $K$ est
-algébrique séparable sur $k(t_i)_{i\in I}$,
-cf. \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}).
-Alors $\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base
-$(dt_i)_{i\in I}$.
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de type fini et séparable.
+Si $(t_1,\ldots,t_n)$ une base de transcendance séparante (i.e., telle
+que $K$ est algébrique séparable sur $k(t_1,\ldots,t_n)$,
+cf. \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}), alors
+$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base
+$dt_1,\ldots,dt_n$.  Réciproquement, si $t_1,\ldots,t_n \in K$ sont
+tels que $dt_1,\ldots,dt_n$ soient linéairement indépendants sur $K$,
+alors ils sont une base de transcendance séparante.
 \end{prop}
 \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
 
-\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est le corps des fractions d'une
-courbe sur un corps $k$ parfait ou bien géométriquement irréductible,
-alors \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de
-  dimension $1$}, et une base en est donnée par n'importe quel $t\in
-K$ tel que $dt \neq 0$, ce qui donne du même coup un sens à
-$\frac{df}{dt}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$.  La
-question de savoir quand $dt \neq 0$ est facile en caractéristique $0$
-(si $t$ n'est pas constant, il est transcendant sur $k$,
-cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, donc est une base de
-transcendance, et \ref{differentials-of-separable-field-extension}
-donne $dt\neq 0$) ; elle l'est moins en caractéristique positive, mais
-on a au moins le résultat suivant :
+\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonction de
+courbe sur $k$, séparable
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors
+\emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$},
+et une base (i.e., un élément non nul...) en est donnée par n'importe
+quel $t\in K$ qui soit une base de transcendance séparante,
+c'est-à-dire $t$ transcendant et $k(t) \subseteq K$ (algébrique)
+séparable.
 
-\begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
-(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une
-uniformisante en n'importe quelle place $v \in \mathscr{V}_{K/k}$
-\textcolor{red}{elle-même séparable !}
-(c'est-à-dire $v(t) = 1$,
-cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}), alors on a $dt \neq
-0$ dans $\Omega^1_{K/k}$, autrement dit, $dt$ est une base du
-$K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une
-base de transcendance séparante de $K$ sur $k$).
-
-(Mieux, $dt$ est aussi une base du $R$-module $\Omega^1_{R/k}$, qui
-est un sous-$R$-module de $\Omega^1_{K/k}$, où $R = \mathcal{O}_v$.)
-\end{prop}
-\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+Si $t$ est un tel élément, c'est-à-dire que tout élément $\omega$ de
+$\Omega^1_{K/k}$ est multiple de $dt$ par un coefficient unique, on
+peut noter $\frac{\omega}{dt} \in K$ ce coefficient, et notamment, il
+y a un sens à écrire $\frac{df}{dt}$ lorsque $f \in K$.
 
 \thingy À titre d'exemple, $\Omega^1_{k(t)/k}$ est le $k(t)$-espace
 vectoriel de dimension $1$ et de base le symbole formel $dt$.  Pour
@@ -5171,13 +5174,60 @@ f'(t)\,dt$ (en appliquant les règles usuelles de différentiation),
 donc $df/dt = f'$ est bien la dérivée au sens usuel d'une fraction
 rationnelle.
 
-(Ceci montre au passage que l'hypothèse de séparabilité n'est pas
-anodine dans \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis} : en
+(Ceci montre au passage que l'hypothèse de séparation n'est pas
+anodine dans \ref{differentials-of-separable-field-extension} : en
 caractéristique $p>0$, on a $d(t^p) = 0$, et pourtant $t^p$ est bien
 une base de transcendance de $k(t)$ sur $k$ — mais ce n'est pas, c'est
 là le point à remarquer, une base de transcendance \emph{séparante},
 c'est-à-dire que $k(t)$ n'est pas séparable sur $k(t^p)$.)
 
+\danger Il ne faut pas s'imaginer que tous les éléments de
+$\Omega^1_{K/k}$ soient des $df$ pour certaines fonctions $f$.  Par
+exemple, il est bien connu que $\frac{dt}{t} \in \Omega^1_{k(t)/k}$
+n'est pas de la forme $df$ (il faudrait prendre $f = \log t$, mais ce
+n'est pas une fraction rationnelle).
+
+\thingy La question de savoir quand $dt \neq 0$ est facile en
+caractéristique $0$ (si $t$ n'est pas constant, il est transcendant
+sur $k$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, donc est une base de
+transcendance, automatiquement séparante en caractéristique $0$, et
+\ref{differentials-of-separable-field-extension} donne $dt\neq 0$) ;
+elle l'est moins en caractéristique positive, surtout si $k$ n'est pas
+parfait.  On va essayer de l'éclaircir :
+
+\begin{prop}
+Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in
+\mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_v$ l'anneau de
+valuation correspondant ($\{f \in K : v(f) \geq 0\}$).  Alors le
+$R$-module $\Omega^1_{R/k}$ s'identifie au sous-$R$-module de
+$\Omega^1_{K/k}$ engendré par les $df$ pour $f\in R$ (autrement dit,
+$d_R f \mapsto d_K f$ définit une application $R$-linéaire injective,
+ce qui permet d'identifier $\Omega^1_{R/k}$ à l'image de celle-ci).
+De plus, $\Omega^1_{R/k}$ est \emph{libre} de rang $1$ comme
+$R$-module : autrement dit, si on a fixé $t \in R$ une uniformisante
+(c'est-à-dire $v(t) = 1$), il existe $\alpha \in \Omega^1_{R/k}$ tel
+que tout élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ s'écrive de façon unique
+$\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \mathbb{Z}$,
+et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in \Omega^1_{R/k}$
+(cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)).
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
+\begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}
+Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in
+\mathscr{V}_{K/k}$ une place \emph{elle-même séparable}, c'est-à-dire
+que son corps résiduel $\varkappa_v$ est une extension séparable
+de $k$, et soit enfin $t$ une uniformisante en $v$ (c'est-à-dire $v(t)
+= 1$) : alors $dt$ est une base du $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ (qui
+est libre de rang $1$ d'après la proposition précédente) ; en
+particulier, $dt$ est une base du $K$-espace
+vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une base de
+transcendance séparante de $K$ sur $k$).
+\end{prop}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
 \begin{prop}\label{order-of-derivatives}
 Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une
-- 
cgit v1.2.3

