From 935ba80c7b190fed780d2c12f132600611ddec98 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 11 Apr 2016 19:25:08 +0200
Subject: Various additions or clarifications after course on 2016-04-11.

---
 notes-accq205.tex | 56 ++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 35 insertions(+), 21 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 494391c..731ad85 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -5336,27 +5336,32 @@ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a :
 \begin{itemize}
 \item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e.,
   si $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
-\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
+\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$, et plus généralement
+  $\ord_P(df) \geq \ord_P(f)$ si $\ord_P(f)$ est multiple de la
+  caractéristique de $k$.
 \end{itemize}
 \end{prop}
 \begin{proof}
 Soit $R := \mathcal{O}_P$ et soit $t$ une uniformisante en $P$ (i.e.,
 $\ord_P(t) = 1$).
 
-La seconde propriété citée a déjà été signalée (elle affirme que les
-$df$ pour $f \in R$ appartiennent $\Omega^1_{R/k}$).  Reste à montrer
-la première.
+La seconde propriété que $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$ a
+déjà été signalée (elle affirme que les $df$ pour $f \in R$
+appartiennent $\Omega^1_{R/k}$).  On va l'utiliser pour montrer les
+autres.
 
 D'après \ref{order-of-differential-wrt-uniformizer}, on sait que
 $\ord_P(df) = \ord_P(df/dt)$.  Écrivons $f = u t^i$ où $i = \ord_P(f)$
 et $u \in R^\times$ (en
 utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}).  On a alors
 $df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} =
-i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$.  Si $i\neq 0$, le premier terme a
-valuation exactement $i-1$ et le second a valuation $\geq i$ (car
-$du/dt \in R$ comme on vient de le voir au paragraphe précédent), donc
-la valuation de la somme est $i-1$ (on
-utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
+i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$.  Si $i\neq 0$ dans $k$, le
+premier terme a valuation exactement $i-1$ et le second a
+valuation $\geq i$ (car $du/dt \in R$ comme on vient de le voir au
+paragraphe précédent), donc la valuation de la somme est $i-1$ (on
+utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).  Si
+$i=0$ dans $k$, le premier terme s'annule et le second a toujours
+valuation $\geq i$.
 \end{proof}
 
 \begin{prop}
@@ -5416,6 +5421,21 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par
   corps des fonctions.} $W \in \Pic(C)$ de n'importe quel diviseur
 canonique.
 
+\thingy Si $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ est un diviseur et $W$ un
+diviseu canonique, on pourra remarquer que
+\[
+\mathscr{L}(W-D) \cong \{\omega \in \Omega^1_{K/k} : (\forall P)\,
+\ord_P(\omega) \geq n_P\}
+\]
+(où $\cong$ désigne un isomorphisme de $k$-espace vectoriels,
+c'est-à-dire l'égalité des dimensions) : précisément, si $W =
+\divis(\omega_0)$, alors $\mathscr{L}(W-D) = \{f \in K^\times :
+\divis(f) + \divis(\omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\} = \{f \in
+K^\times : \divis(f \omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\}$ est isomorphe
+via $f \mapsto f\omega_0$ à $\{\omega\in \Omega^1_{K/k}\setminus\{0\}
+: \divis(\omega) - D \geq 0\} \cup \{0\}$, c'est-à-dire ce qu'on a
+écrit ci-dessus.
+
 
 \subsection{Le théorème de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch}
 
@@ -5475,8 +5495,8 @@ nous permet de calculer $g_{\mathbb{P}^1}$ par $2g_{\mathbb{P}^1} - 2
 = -2$ soit $g_{\mathbb{P}^1} = 0$.  Voici une forme de réciproque :
 
 \begin{prop}
-Soit $C$ une courbe géométriquement intègre de genre $0$ et ayant une
-place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}).  Alors $C$ est
+Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible de genre $0$ et ayant
+une place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}).  Alors $C$ est
 isomorphe à $\mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire que $k(C)$ est $k(t)$ : la
 courbe est \emph{rationnelle}).
 \end{prop}
@@ -5487,16 +5507,10 @@ $\ell((P)) = 2$.  Il existe donc une fonction $f$ non-constante,
 admettant au plus un pôle simple, en $P$ ; comme elle est
 non-constante, d'après \ref{constant-functions-on-a-curve}, elle doit
 aussi avoir un pôle, donc $\divis(f)$, qui doit être de degré $0$, est
-de la forme $(P) - (Q)$.
-
-On applique encore \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) au diviseur $D
-:= (P)-(Q)$ : il montre que $\ell(D) = 1$.
-Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
-\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) =
-(P) - (Q)$.  D'après \ref{degree-identity}, on voit que $\deg f
-:=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ est
-transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est
-le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
+de la forme $(Q) - (P)$.  D'après \ref{degree-identity}, on voit que
+$\deg f :=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$
+est transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$
+est le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
 \end{proof}
 
 
-- 
cgit v1.2.3

