From 9a633c64215c746c3bbc4319abdfe322734f2a54 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 8 Feb 2016 10:51:24 +0100
Subject: Start writing ACCQ205 notes.

---
 notes-accq205.tex | 139 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 139 insertions(+)
 create mode 100644 notes-accq205.tex

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
new file mode 100644
index 0000000..9c4ad51
--- /dev/null
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -0,0 +1,139 @@
+%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix}
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
+\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
+\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme}
+\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème}
+\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire}
+\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
+\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
+\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
+\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
+%
+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
+\author{David A. Madore}
+\maketitle
+
+\centerline{\textbf{ACCQ205}}
+
+{\footnotesize
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+\begin{center}
+Git: \input{vcline.tex}
+\end{center}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+
+
+%
+%
+%
+
+\section{Corps et extensions de corps}
+
+\subsection{Extensions algébriques et transcendantes}
+
+\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
+commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
+inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls.
+Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$
+entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un
+idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être
+considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit
+$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit
+aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
+
+\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
+note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
+petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
+tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
+cette propriété).
+
+\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
+désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
+plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une
+indéterminée $x$ sur $k$.  (Ces conventions sont cependant cohérentes
+en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée
+sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.)  Il
+faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation
+apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
+sous-entendu que $x$ est une indéterminée.  La même remarque vaut,
+\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
+petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
+une indéterminée $x$ sur $k$.
+
+\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
+existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
+l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
+sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
+k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Deux cas
+peuvent se produire :
+\begin{itemize}
+\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
+  \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
+  de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$
+  est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$
+  sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que
+  $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément
+  $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des
+  fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$
+  comme une indéterminée) ;
+\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
+  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
+  de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
+  \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image
+  de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension
+  $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ;
+  de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
+  on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
+\end{itemize}
+
+%
+%
+%
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

