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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 9 Apr 2016 21:54:31 +0200
Subject: Continue fixing the mess about differentials.

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@@ -5195,60 +5195,102 @@ transcendance, automatiquement séparante en caractéristique $0$, et
 elle l'est moins en caractéristique positive, surtout si $k$ n'est pas
 parfait.  On va essayer de l'éclaircir :
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve}
 Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
-(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in
-\mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_v$ l'anneau de
-valuation correspondant ($\{f \in K : v(f) \geq 0\}$).  Alors le
-$R$-module $\Omega^1_{R/k}$ s'identifie au sous-$R$-module de
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in
+\mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_P$ l'anneau de
+valuation correspondant\footnote{Voir
+  note \ref{footnote-place-versus-valuation}
+  page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} ($\{f \in K :
+\ord_P(f) \geq 0\}$).
+Alors le $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ s'identifie au sous-$R$-module de
 $\Omega^1_{K/k}$ engendré par les $df$ pour $f\in R$ (autrement dit,
 $d_R f \mapsto d_K f$ définit une application $R$-linéaire injective,
 ce qui permet d'identifier $\Omega^1_{R/k}$ à l'image de celle-ci).
 De plus, $\Omega^1_{R/k}$ est \emph{libre} de rang $1$ comme
 $R$-module : autrement dit, si on a fixé $t \in R$ une uniformisante
-(c'est-à-dire $v(t) = 1$), il existe $\alpha \in \Omega^1_{R/k}$ tel
-que tout élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ s'écrive de façon unique
-$\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \mathbb{Z}$,
-et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in \Omega^1_{R/k}$
-(cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)).
+(c'est-à-dire $\ord_P(t) = 1$), il existe $\alpha \in \Omega^1_{R/k}$
+tel que tout élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ s'écrive de façon
+unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in
+\mathbb{Z}$, et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in
+\Omega^1_{R/k}$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)).
 \end{prop}
 \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
 
+\begin{defn}
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une
+place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in
+\Omega^1_{K/k}$, on appelle $\ord_P(\omega)$ l'entier $i$ de la
+proposition \ref{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve},
+c'est-à-dire le plus grand $i$ tel qu'on ait $\omega/t^i \in
+\Omega^1_{\mathcal{O}_P/k}$ où $t$ est une uniformisante en $P$
+(concrètement, il s'agit donc du plus grand $i$ tel qu'on puisse
+écrire $\omega = g_1\, df_1 + \cdots + g_N\, df_N$ avec $\ord_P(g_j)
+\geq i$ et $\ord_P(f_j) \geq 0$).
+
+Cet entier l'appelle ordre du zéro, ou opposé de l'ordre du pôle,
+de $\omega$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(\omega)\geq 0$, on dit que
+$\omega$ est \defin[holomorphe (différentielle)]{holomorphe} en $P$,
+lorsque $\ord_P(\omega) > 0$, on dit qu'elle a un zéro en $P$, lorsque
+$\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$.
+\end{defn}
+
+\thingy Si $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que
+$\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même
+propriété pour deux fonctions, i.e.,
+d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)).
+
+La définition de $\ord_P(\omega)$ assez complexe.  Heureusement, on va
+pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes
+(notamment si $k$ est parfait).
+
 \begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}
 Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
-(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in
+(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in
 \mathscr{V}_{K/k}$ une place \emph{elle-même séparable}, c'est-à-dire
-que son corps résiduel $\varkappa_v$ est une extension séparable
-de $k$, et soit enfin $t$ une uniformisante en $v$ (c'est-à-dire $v(t)
-= 1$) : alors $dt$ est une base du $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ (qui
-est libre de rang $1$ d'après la proposition précédente) ; en
-particulier, $dt$ est une base du $K$-espace
+que son corps résiduel $\varkappa_P$ est une extension séparable
+de $k$, et soit enfin $t$ une uniformisante en $P$
+(c'est-à-dire $\ord_P(t) = 1$) : alors $dt$ est une base du $R$-module
+$\Omega^1_{R/k}$ (qui est libre de rang $1$ d'après la proposition
+précédente) ; en particulier, $dt$ est une base du $K$-espace
 vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une base de
 transcendance séparante de $K$ sur $k$).
 \end{prop}
 \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
 
+\begin{cor}
+Dans les conditions de la
+proposition \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on a
+donc : $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)$ pour tout $\omega \in
+\Omega^1_{K/k}$.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+On vient de voir que $dt$ est une base de $\Omega^1_{R/k}$,
+c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$.  On a alors $\ord_P(\omega) =
+\ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a signalé.
+\end{proof}
+
 \begin{prop}\label{order-of-derivatives}
 Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une
-uniformisante en n'importe quelle place $v \in \mathscr{V}_{K/k}$
-(c'est-à-dire $v(t) = 1$,
-cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}), alors pour tout $f
-\in K$ on a
+uniformisante en une $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ elle-même séparable
+(i.e., $\varkappa_P$ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on
+a :
 \begin{itemize}
-\item $v(df/dt) = v(f)-1$ si $v(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e., $v(f)$
-  n'est pas multiple de la caractéristique), et
-\item $v(df/dt) \geq 0$ si $v(f) \geq 0$.
+\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$
+  (i.e., $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et
+\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$.
 \end{itemize}
 \end{prop}
 \begin{proof}
 D'après \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on sait
 que $dt$ est une base de $\Omega^1_{K/k}$ et même de $\Omega^1_{R/k}$
-où $R = \mathcal{O}_v$.  Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$
+où $R = \mathcal{O}_P$.  Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$
 pour tout $f \in K$ ; et on a même $df/dt \in R$ si $f \in R$ (car
 alors $df \in \Omega^1_{R/k}$).  On vient donc de prouver le second
-point.  Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i = v(f)$
-et $u \in R^\times$ (en
+point.  Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i =
+\ord_P(f)$ et $u \in R^\times$ (en
 utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}).  On a alors
 $df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} =
 i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$.  Si $i\neq 0$, le premier terme a
@@ -5258,34 +5300,6 @@ somme est $i-1$ (on
 utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
 \end{proof}
 
-\begin{defn}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
-(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour
-toute place $P$ de $C$ et toute différentielle de Kähler $\omega \in
-\Omega^1_{K/k}$, on pose
-\[
-\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)
-\]
-où $\ord_P$ désigne la valuation correspondant\footnote{Voir
-  note \ref{footnote-place-versus-valuation}
-  page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} à la place $P$ et
-où $t \in k(C)$ est une uniformisante en $P$ (i.e. vérifie $\ord_P(t)
-= 1$).  On l'appelle ordre du zéro, ou opposé de l'ordre du pôle,
-de $\omega$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(\omega)\geq 0$, on dit que
-$\omega$ est \defin[holomorphe (différentielle)]{holomorphe} en $P$,
-lorsque $\ord_P(\omega) > 0$, on dit qu'elle a un zéro en $P$, lorsque
-$\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$.
-\end{defn}
-
-\thingy Cette définition ne dépend pas du choix de $t$, car si $t'$
-est une autre uniformisante en $P$, la
-proposition \ref{order-of-derivatives} entraîne $\ord_P(dt'/dt) = 0$
-donc $\ord_P(\omega/dt') = \ord_P(\omega/dt)$.  Par ailleurs, si
-$\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que
-$\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même
-propriété pour deux fonctions, i.e.,
-d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)).
-
 La proposition \ref{order-of-derivatives} signifie que pour $f \in K$
 non nul :
 \begin{itemize}
@@ -5326,7 +5340,8 @@ cette place.
 \end{defn}
 
 \thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$
-où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles.
+où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles,
+lorsque $k$ est un corps parfait.
 En $0$, on a $\ord_0(t) = 1$ donc $\ord_0(dt) = 0$.  En $\infty$, on a
 $\ord_\infty(t) = -1$ donc $\ord_\infty(dt) = -2$.  Reste à traiter le
 cas des autres places, pour lesquelles la
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cgit v1.2.3

