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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 31 Mar 2016 19:11:25 +0200
Subject: Existence of valuations, and link to integral closure.

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@@ -496,8 +496,14 @@ suivants se produit :
   indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée).
 \item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
   unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \defin{polynôme minimal}
-  de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique (élément)]{algébrique} (ou
-  \defin[entier (élément)]{entier}) sur $k$.  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
+  de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique
+    (élément)]{algébrique} (ou \defin[entier algébrique
+    (élément)]{entier [algébrique]})\footnote{Les termes « algébrique »
+    et « entier [algébrique] » sont synonymes au-dessus d'un corps
+    puisque tout polynôme peut être rendu unitaire en divisant par le
+    coefficient dominant ; sur un anneau, la notion d'élément entier
+    [algébrique] se comporte généralement mieux.} sur $k$.
+  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
   (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à
   $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie
   sur $k$, qu'on appelle le \defin[degré (d'un élément)]{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
@@ -3513,14 +3519,15 @@ signifie bien sûr exactement que $x$ a une valuation plus grande
 que $y$ et réciproquement.  Il s'agit là d'une relation d'équivalence
 sur $K$ : les classes d'équivalences des éléments non nuls s'appellent
 les \emph{valuations} : on notera $v_R(x)$ ou simplement $v(x)$ pour
-la valuation de $x$ ; la classe de $0$ sera mise à part et
+la valuation de $x$ ; la classe de $0 \in R$ sera mise à part et
 notée $\infty$ (on écrira $v(0) = \infty$ mais on ne considère
 généralement pas qu'il s'agisse d'une valuation).  La définition d'un
 anneau de valuation fait qu'on a défini une relation d'ordre
 \emph{total} sur l'ensemble des valuations (plus $\infty$ qui est le
 plus grand élément).
 
-On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ :
+On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$
+(ou $v(c)$ pour n'importe quel $c\in R^\times$) :
 cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et
 fait de l'ensemble des valuations (sans compter le symbole
 spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des
@@ -3642,9 +3649,139 @@ transcendance $1$.)  On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut
 être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places
 de $K$
 
+\begin{prop}\label{existence-of-valuations}
+Soit $K$ un corps, soit $A \subseteq K$ un sous-anneau et soit
+$\mathfrak{p}$ un idéal premier
+(cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}) de $A$.  Alors il existe
+un anneau de valuation $R$ de $K$ tel que $A \subseteq R \subseteq K$
+et que $\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$ en notant $\mathfrak{m}$
+l'idéal maximal de $R$ (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $A'$ l'ensemble des quotients $\frac{a}{q}$ avec $a\in A$ et $q
+\not\in \mathfrak{p}$ : on rappelle que le produit de deux éléments
+qui ne sont pas dans $\mathfrak{p}$ n'est pas dans $\mathfrak{p}$, ce
+qui permet de voir que $A'$ est stable par addition et multiplication
+(en utilisant les formules usuelles $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} =
+\frac{aq'+a'q}{qq'}$ et $\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} =
+\frac{aa'}{qq'}$) ; il contient bien sûr $0$ et $1$ et est donc un
+sous-anneau de $K$ vérifiant $A \subseteq A' \subseteq K$.  L'idéal
+$\mathfrak{p}'$ de $A'$ formé des $\frac{p}{q}$ avec $p\in
+\mathfrak{p}$ et $q\not\in \mathfrak{p}$ est maximal et est même
+l'unique idéal maximal de $A'$ (tout élément qui n'est pas
+dans $\mathfrak{p}'$ est inversible dans $A'$ par construction ; on
+pourrait remarquer au passage que le corps $A'/\mathfrak{p}'$ est le
+corps des fractions de $A/\mathfrak{p}$) ; notons par ailleurs que
+$\mathfrak{p}' \cap A = \mathfrak{p}$ (car si $\frac{p}{q} =: a \in A$
+avec les notations d'avant, $p = aq \in \mathfrak{p}$ implique $a \in
+\mathfrak{p}$ vu que $q \not\in \mathfrak{p}$).
+
+On remplace maintenant $A$ par $A'$ et $\mathfrak{p}$
+par $\mathfrak{p}'$ : comme on vient de le voir, ceci permet de
+supposer que $A$ est un anneau \emph{local}, dont l'unique idéal
+maximal est noté $\mathfrak{p}$.
+
+Soit $\mathscr{F}$ l'ensemble des sous-anneaux $R$ de $K$ contenant
+$A$ et tels que $1 \not\in \mathfrak{p}R$ (où $\mathfrak{p}R$ est
+l'idéal de $R$ engendré par $\mathfrak{p}$).  Alors $\mathscr{F}$ est
+non vide (il contient $A$) et si $\mathscr{T}$ est une partie
+de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par l'inclusion (=: chaîne) alors
+$R := \bigcup_{S\in\mathscr{T}} S$ est encore dans $\mathscr{F}$ (la
+réunion d'une chaîne de sous-anneaux est un sous-anneau pour la même
+raison que dans la preuve de \ref{existence-maximal-ideals}, ce
+sous-anneau contient évidemment $A$, et si on pouvait écrire $1$ comme
+combinaison linéaire à coefficients dans $R$ d'éléments
+de $\mathfrak{p}$, ces coefficients seraient déjà dans un $S$
+de $\mathscr{T}$, une contradiction).  Ainsi, le
+principe \ref{hausdorff-maximal-principle} s'applique et il existe $R$
+maximal pour l'inclusion.  On va montrer que $R$ répond au problème
+posé.
+
+Tout d'abord, vérifions que $R$ est un anneau local : comme
+$\mathfrak{p}R \neq R$ par hypothèse, il est inclus
+(cf. \ref{existence-maximal-ideals}) dans un idéal
+maximal $\mathfrak{m}$.  Si on répète la construction du premier
+paragraphe de cette preuve, on peut considérer l'anneau $R'$ des
+quotients $\frac{a}{q}$ avec $a\in R$ et $q\not\in\mathfrak{m}$ : la
+maximalité de $R$ impose qu'en fait $R' = R$ c'est-à-dire que tout
+élément n'appartenant pas à $\mathfrak{m}$ est inversible dans $R$.
+L'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est donc unique, i.e., $R$ est un
+anneau local, comme annoncé.
+
+De plus, on a $\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$ puisque l'inclusion
+$\supseteq$ est claire et que $\mathfrak{p}$ est un idéal maximal
+de $A$.  Il reste simplement à vérifier que $R$ est un anneau de
+valuation.
+
+Si $x \in K$ n'appartient pas à $R$, alors $R[x]$ est un sous-anneau
+de $K$ contenant $R$ (donc $A$) et strictement plus grand que $R$ :
+par maximalité de ce dernier, c'est que $1 \in \mathfrak{p}R[x]$,
+c'est-à-dire qu'on peut écrire $1 = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$
+avec $a_i \in \mathfrak{p}R$, et en particulier $a_i \in
+\mathfrak{m}$.  Mais $1 - a_0 \not\in \mathfrak{m}$ est inversible
+dans $R$ puisque $R$ est local, donc on peut multiplier l'égalité
+précédente par son inverse, et quitte à appeler $b_i = a_i/(1-a_0)$,
+on a $1 = b_1 x + \cdots + b_n x^n$ avec $b_i \in \mathfrak{m}$.
+Choisissons une telle relation avec $n$ le plus petit possible.  De
+même, si $x^{-1}$ n'appartient pas à $R$, on choisit une relation $1 =
+c_1 x^{-1} + \cdots + c_m x^{-m}$ avec $c_i \in \mathfrak{m}$ et $m$
+le plus petit possible.  Sans perte de généralité, on peut
+supposer $n\geq m$ : alors quitte à multiplier la dernière relation
+par $b_n x^n$ et la soustraire à la précédente, on obtient une
+relation $1 = b'_1 x + \cdots + b'_{n-1} x^{n-1}$, toujours avec $b'_i
+\in \mathfrak{m}$, ce qui contredit la minimalité de $n$.  On a donc
+bien montré que $x \in K$ implique soit $x\in R$ soit $x^{-1} \in R$.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}\label{valuation-rings-and-integral-closure}
+Soit $K$ un corps et soit $A \subseteq K$ un sous-anneau.  Alors
+l'intersection $B$ de tous les anneaux de valuations de $K$
+contenant $A$ coïncide exactement avec l'ensemble des éléments $x \in
+K$ qui sont \defin[entier (élément)]{entiers [algébriques]} sur $A$ au
+sens où il existe un $f \in A[t]$ \emph{unitaire} non constant tel que
+$f(x) = 0$.
+
+(Cet ensemble $B$, qui est donc un sous-anneau de $K$, s'appelle la
+\defin{fermeture intégrale} de $A$ dans $K$, ou \defin{clôture
+  intégrale} lorsque $K$ est le corps des fractions de $A$.)
+
+En particulier, si $k$ est un sous-corps de $K$, alors l'intersection
+de tous les anneaux de valuations de $K$ au-dessus de $k$ est la
+fermeture algébrique (cf. \ref{relative-algebraic-closure}) de $k$
+dans $K$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Montrons d'abord que si $x \in K$ est entier sur $A$ alors $x$
+appartient à n'importe quel anneau de valuation $R$ de $K$
+contenant $A$.  Or si $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ avec $a_i
+\in A$ (et notamment $a_i \in R$), on ne peut pas avoir $v_R(x) < 0$
+car on a $v(x^i) = i\,v(x)$, et si $a \in R$, comme $v(a) \geq 0$, on
+a $v(a x^i) \geq i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a une relation $x^n
++ a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du terme $x^n$ est
+$n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de n'importe quel
+autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle (on
+utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} et le cas
+d'égalité dans (ii)).  Ceci montre une inclusion.
+
+Montrons réciproquement que si $x$ n'est pas entier sur $A$ alors il
+existe un anneau de valuation de $K$ contenant $A$ auquel $x$
+n'appartient pas.  Pour cela, posons $y = x^{-1} \in K$, et
+considérons l'anneau $A[y]$ qu'il engendre avec $A$ et l'idéal $y
+A[y]$ qu'il engendre dans cet anneau.  On a $1 \not\in y A[y]$ sans
+quoi il y aurait une relation du type $1 = a_1 y + \cdots + a_n y^n$,
+donc $x^n = a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ et $x$ serait entier sur $A$,
+or on a supposé le contraire.  L'idéal $y A[y]$ est donc strict et il
+existe donc (cf. \ref{existence-maximal-ideals}) un idéal maximal
+$\mathfrak{p}$ de $A[y]$ le contenant (donc contenant $y$).
+D'après \ref{existence-of-valuations}, il existe $R$ anneau de
+valuation de $K$ contenant $A[y]$ et dont l'idéal maximal
+contienne $\mathfrak{p}$.  En particulier, $v_R(y) > 0$, donc $v_R(x)
+< 0$, ce qui signifie $x \not\in R$, ce qu'on voulait montrer.
+\end{proof}
+
 \begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal}
-Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation discrète, dont on note
-$\mathfrak{m}$ l'idéal maximal
+Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation \emph{discrète}, dont on
+note $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal
 (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation.
 Alors :
 \begin{itemize}
@@ -3679,10 +3816,9 @@ L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de
 la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs).
 
 Montrons maintenant le (ii).  Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de
-valuation nulle, donc il est dans $\mathcal{O}$ et son inverse
-dans $K$ est aussi dans $\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $u$ est
-dans $\mathcal{O}^\times$.  Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x)
-= v(u) + r v(t) = r$ puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$.
+valuation nulle, c'est-à-dire dans $\mathcal{O}^\times$.
+Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) = v(u) + r v(t) = r$
+puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$.
 
 Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les
 éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de
@@ -3846,6 +3982,16 @@ On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une
 que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal
 $\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$).
 
+La valuation $v(f)$ peut également être appelée \defin{multiplicité}
+du zéro de $f$ en $v$ (même si cette terminologie est un peu abusive
+ou bizarre si en fait $v(f)<0$), et inversement, au moins si $v(f)<0$,
+l'entier $-v(f)$ peut être appelé multiplicité du pôle de $f$ en $v$.
+
+On rappelle qu'on a donné le nom d'\defin{uniformisante} en $v$ à un
+$f \in K$ tel que $v(f) = 1$ (c'est-à-dire, avec la terminologie qu'on
+vient d'introduire, une fonction qui a un zéro d'ordre exactement $1$
+en $v$).  On parle aussi de \defin{paramètre local} pour $K$ en $v$.
+
 
 
 
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