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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 2 Mar 2016 18:20:50 +0100
Subject: Separating transcendence bases over a perfect field (not mentioning
 the term).

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 notes-accq205.tex | 83 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------
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@@ -1686,6 +1686,71 @@ l'extension est monogène.  Si $k$ est parfait, toute extension
 algébrique de $k$ est séparable.
 \end{proof}
 
+\begin{prop}
+Soit $k$ un corps parfait et $k \subseteq K$ une extension de corps de
+type fini.  Alors il existe $x_1,\ldots,x_{d+1} \in K$ tels que $K =
+k(x_1,\ldots,x_{d+1})$ avec $x_1,\ldots,x_d$ algébriquement
+indépendants sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et
+$x_{d+1}$ séparable sur $k(x_1,\ldots,x_d)$
+(cf. \ref{definition-separable-element}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ :
+quitte à permuter les $w_i$, on peut supposer que $w_1,\ldots,w_d$
+sont algébriquement indépendants sur $K$
+(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)).  Alors tout $y \in K$ est
+algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
+$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$
+irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
+k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible.
+
+En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in
+k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) =
+0$.  Considérons un tel polynôme.
+
+Expliquons maintenant pourquoi il existe $1\leq i\leq d+1$ tel que la
+dérivée partielle $f'_i$ de $f$ par rapport à la variable $t_i$ ne
+soit pas identiquement nulle.  En effet, si on avait $f'_i = 0$ pour
+chaque $i$, alors chaque variable $t_i$ n'apparaîtrait qu'à des
+puissances multiples de la caractéristique $p>0$, donc on pourrait
+écrire $f(t_1,\ldots,t_{d+1}) = f_0(t_1^p,\ldots,t_{d+1}^p)$.  Quitte
+à considérer la racine $p$-ième de chaque coefficient de $f_0$ (qui
+existe car $k$ est algébriquement clos),
+d'après \ref{raising-polynomial-to-the-power-p} (ou son analogue
+évident à plusieurs variables), on voit que $f$ serait une puissance
+$p$-ième, contredisant l'irréductibilité.
+
+Les éléments $w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1}$ sont
+algébriquement indépendants sur $i$.  En effet, le fait que $f'_i \neq
+0$ assure que $t_i$ apparaît vraiment dans $f(t_1,\ldots,t_{d+1})$
+donc $w_i$ est algébrique sur
+$k(w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1})$, donc le degré de
+transcendance de $k(w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1})$
+sur $k$ est le même que celui de $k(w_1,\ldots,w_{d+1})$, qui
+vaut $d$, or $d$ éléments ne peuvent engendrer une extension de degré
+de transcendance $d$ qu'en étant algébriquement indépendants
+(cf. \ref{transcendence-basis-facts} (1a) et (3)).
+
+Ainsi, quitte à permuter $w_i$ avec $w_{d+1}$ (si $i\neq d+1$), on
+peut s'arranger, tout en gardant $w_1,\ldots,w_d$ algébriquement
+indépendants, pour avoir $f'_{d+1} \neq 0$ : ce fait assure que
+$w_{d+1}$ est non seulement algébrique mais même séparable
+sur $k(w_1,\ldots,w_d)$.
+
+Mais en procédant de même pour $w_{d+2},\ldots,w_n$, on peut s'assurer
+(à chaque fois quitte à permuter le $w_j$ considéré, $j\geq d+1$, avec
+un $w_i$ pour $1\leq i\leq d$) que chacun de $w_{d+1},\ldots,w_n$ est
+algébrique séparable sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, toujours avec
+$w_1,\ldots,w_d$ algébriquement indépendants.  Posons $x_i = w_i$ pour
+$1\leq i\leq d$.  Le théorème \ref{primitive-element-theorem} appliqué
+à l'extension de $k(x_1,\ldots,x_d) = k(w_1,\ldots,w_d)$ engendrée par
+les éléments algébriques séparables $w_{d+1},\ldots,w_n$ montre que
+celle-ci est engendrée par un unique élément $x_{d+1}$, et comme cette
+extension est séparable
+d'après \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable},
+l'élément $x_{d+1}$ est séparable.
+\end{proof}
+
 
 
 \subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats}
@@ -1826,24 +1891,6 @@ les résultats suivants :
 
 \subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes}
 
-\begin{prop}
-Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une extension
-de corps de type fini.  Alors il existe $z_1,\ldots,z_{d+1} \in K$
-tels que $K = k(z_1,\ldots,z_{d+1})$ avec $z_1,\ldots,z_d$
-algébriquement indépendants sur $k$
-(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $z_{d+1}$ séparable sur
-$k(z_1,\ldots,z_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
-\end{prop}
-\begin{proof}
-Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ :
-disons que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$
-(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)).  Alors tout $y \in K$ est
-algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
-$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$
-irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
-k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible.  \textcolor{red}{...}
-\end{proof}
-
 
 
 % TODO:
-- 
cgit v1.2.3

