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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 10 Apr 2016 01:17:04 +0200
Subject: The Riemann-Roch theorem.

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@@ -3586,7 +3586,9 @@ géométriquement (=absolument) irréductible
 proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, que
 dans le corps $K.k^{\alg} =
 \Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les sous-corps $K$ et
-$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$.
+$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$.  En dimension $1$ on
+dira que la courbe associée au corps $K$ est elle-même géométriquement
+irréductible.
 
 \thingy\label{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}
 Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel
@@ -4912,7 +4914,8 @@ principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard
 zéro) de la courbe $C$, et est noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
 \end{defn}
 
-\thingy À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite
+\thingy\label{picard-group-of-the-projective-line}
+À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite
 projective $\mathbb{P}^1_k$ sur un corps $k$.  On a vu
 en \ref{subsection-places-of-the-projective-line} que les places
 de $\mathbb{P}^1_k$ sont en correspondance avec les polynômes
@@ -5018,6 +5021,23 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe :
   diminuer $\ell(D)$).
 \end{proof}
 
+\begin{prop}\label{negative-degree-divisors-have-no-sections}
+En notant $D$ un diviseur sur une courbe :
+\begin{itemize}
+\item Si $\deg D < 0$ alors $\ell(D) = 0$.
+\item Si $\deg D = 0$ et $\ell(D) \neq 0$ alors $\ell(D) = [\tilde k :
+k]$ et $D \sim 0$.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Dire que $\ell(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' :=
+\divis(f) + D \geq 0$.  Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le
+degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le
+degré de $D$ est $\geq 0$.  De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$)
+est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim
+0$, qui entraîne $\ell(D) = 1$.
+\end{proof}
+
 
 \subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials}
 
@@ -5345,7 +5365,8 @@ dont le coefficient devant chaque place $P$ est l'ordre de $\omega$ en
 cette place (cf. \ref{definition-order-of-a-differential}).
 \end{defn}
 
-\thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$
+\thingy\label{canonical-divisor-of-the-projective-line}
+À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$
 où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles,
 lorsque $k$ est un corps parfait.
 En $0$, on a $\ord_0(t) = 1$ donc $\ord_0(dt) = 0$.  En $\infty$, on a
@@ -5378,6 +5399,84 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par
 canonique.
 
 
+\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch}
+
+\thingy Dans toute cette section, on va à chaque fois supposer la
+courbe $C$ \emph{géométriquement} irréductible
+(cf. \ref{geometric-irreducibility},
+et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}).  Ceci implique
+notamment $\tilde k = k$ (on remplace donc par $1$ toutes les
+occurrences de la quantité $[\tilde k : k]$).
+
+\begin{thm}[Riemann-Roch]\label{riemann-roch}
+Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible sur un corps $k$.  Il
+existe un entier $g \geq 0$, appelé \defin[genre (d'une
+  courbe)]{genre} de $C$ tel que pour tout diviseur $D$ on ait, en
+notant $W$ un diviseur canonique :
+\[
+\ell(D) - \ell(W-D) = \deg D + 1 - g
+\]
+\end{thm}
+\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof}
+
+\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor}
+\begin{itemize}
+\item[(A)] Pour $W$ un diviseur canonique sur une courbe $C$
+  géométriquement irréductible sur un corps $k$, on a :
+\[
+\begin{aligned}
+\ell(W) &= g\\
+\deg(W) &= 2g-2\\
+\end{aligned}
+\]
+\item[(B)] Si $D$ est un diviseur avec $\deg D > 2g-2$, alors $\ell(D) = \deg
+  D + 1 - g$.
+\end{itemize}
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Pour la première affirmation, appliquer \ref{riemann-roch} à $D=0$
+donne $1-\ell(W) = 0+1-g$, d'où $\ell(W) = g$ ; puis à $D=W$ donne
+$g-1 = \deg W + 1 - g$ d'où $\deg W = 2g-2$.  Pour la seconde
+affirmation, on utilise
+\ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} pour conclure que
+$\ell(W-D) = 0$.
+\end{proof}
+
+\thingy S'agissant de la droite projective $\mathbb{P}^1$, il résulte
+du calcul fait en \ref{canonical-divisor-of-the-projective-line} que
+sa classe canonique est celle de $-2(\infty)$ (on peut tout simplement
+dire que c'est $-2$ vu qu'on a vu
+en \ref{picard-group-of-the-projective-line} que son groupe de Picard
+s'identifie à $\mathbb{Z}$ via le degré des diviseurs).  Ce degré $-2$
+nous permet de calculer $g_{\mathbb{P}^1}$ par $2g_{\mathbb{P}^1} - 2
+= -2$ soit $g_{\mathbb{P}^1} = 0$.  Voici une forme de réciproque :
+
+\begin{prop}
+Soit $C$ une courbe géométriquement intègre de genre $0$ et ayant une
+place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}).  Alors $C$ est
+isomorphe à $\mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire que $k(C)$ est $k(t)$ : la
+courbe est \emph{rationnelle}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $P$ une place rationnelle.  En
+appliquant \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) à $(P)$, on trouve
+$\ell((P)) = 2$.  Il existe donc une fonction $f$ non-constante,
+admettant au plus un pôle simple, en $P$ ; comme elle est
+non-constante, d'après \ref{constant-functions-on-a-curve}, elle doit
+aussi avoir un pôle, donc $\divis(f)$, qui doit être de degré $0$, est
+de la forme $(P) - (Q)$.
+
+On applique encore \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) au diviseur $D
+:= (P)-(Q)$ : il montre que $\ell(D) = 1$.
+Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D
+\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) =
+(P) - (Q)$.  D'après \ref{degree-identity}, on voit que $\deg f
+:=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ est
+transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est
+le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
+\end{proof}
+
+
 
 
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