From bcfb164aa4d3756151e436f855d94a62647a672c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 29 Feb 2016 18:41:10 +0100
Subject: Unfinished proof.

---
 notes-accq205.tex | 25 ++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 24 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 5e4c848..e837292 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -763,7 +763,7 @@ de \ref{base-of-compositum}.
 
 \subsection{Bases et degré de transcendance}
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-transcendence-basis}
 Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
 $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
   indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
@@ -1822,6 +1822,29 @@ les résultats suivants :
 \end{thm}
 
 
+\section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski}
+
+\subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes}
+
+\begin{prop}
+Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une extension
+de corps de type fini.  Alors il existe $z_1,\ldots,z_{d+1} \in K$
+tels que $K = k(z_1,\ldots,z_{d+1})$ avec $z_1,\ldots,z_d$
+algébriquement indépendants sur $k$
+(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $z_{d+1}$ séparable sur
+$k(z_1,\ldots,z_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ :
+disons que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$
+(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)).  Alors tout $y \in K$ est
+algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
+$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$
+irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
+k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible.  \textcolor{red}{...}
+\end{proof}
+
+
 
 % TODO:
 % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski.
-- 
cgit v1.2.3

