From c11514163d2da42eb466ec101533ed965f879319 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 5 Mar 2016 17:46:41 +0100
Subject: Various hopefully intuitive explanations of Galois theory.

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 notes-accq205.tex | 78 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -1894,6 +1894,84 @@ les résultats suivants :
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
+\thingy La partie la plus importante du résultat ci-dessus est la
+suivante : \emph{si un élément de $L$ (séparable et normal sur $K$)
+  est fixé par le groupe $G$ de tous les $K$-automorphismes de $L$,
+  alors cet élément appartient à $K$}.  Il s'agit donc d'une
+généralisation du fait qu'un complexe stable par conjugaison complexe
+est réel, et qu'un élément d'un corps fini stable par $\Frob_p \colon
+x \mapsto x^p$ appartient à $\mathbb{F}_p$.
+
+Une des applications de la théorie de Galois est de montrer que
+certains objets définis \textit{a priori} sur un « gros » corps $L$
+(par exemple la clôture séparable $K^{\sep}$ de $K$) sont, en fait,
+définis sur le « petit » corps $K$.  Le slogan général s'énonce sous
+la forme
+\begin{center}
+rationnel = stable par Galois
+\end{center}
+où « rationnel », dans ce contexte, signifie que l'objet est défini
+sur le « petit » corps $K$, et « stable par Galois » signifie que le
+groupe de Galois fixe l'objet considéré (pour une certaine action
+provenant de l'action naturelle sur $L$ : par exemple, pour un
+polynôme, l'action sur les coefficients du polynôme).
+
+\thingy Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps
+$K$ est le groupe de Galois $G$ du corps de décomposition
+(cf. \ref{definition-decomposition-field}) $L$ de $f$ : il s'agit bien
+d'une extension galoisienne, et par ailleurs, tout $\sigma \in G$ doit
+envoyer une racine de $f$ sur une racine de $f$ (puisque $\sigma(f(x))
+= f(\sigma(x))$ vu que $f \in K[t]$), donc permute les racines de $f$,
+et en fait $\sigma$ est complètement déterminé par cette permutation
+(puisque $L$ est engendré par les racines de $f$, un automorphisme de
+$L$ est déterminé par son action sur les racines en question).  On
+peut donc dire : \emph{le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$
+  sur un corps $K$ est le groupe des permutations des racines de $f$
+  qui définissent un automorphisme du corps de décomposition}.
+
+On peut montrer que la formulation suivante, peut-être plus intuitive,
+est encore équivalente : le groupe de Galois de $f$ (séparable
+sur $K$) est le groupe de toutes les permutations $\sigma$ des racines
+$x_1,\ldots,x_n$ de $f$ (dans son corps de décomposition sur $K$)
+telles que si $h(t_1,\ldots,t_n) \in K[t_1,\ldots,t_n]$ est une
+quelconque « relation algébrique » entre les racines définie sur $K$,
+autrement dit, vérifie $h(x_1,\ldots,x_n) = 0$, alors on a encore
+$h(\sigma(x_1),\ldots,\sigma(x_n)) = 0$.
+
+Une telle permutation doit certainement préserver la décomposition de
+$f$ en facteurs irréductibles sur $K$ (i.e., envoyer une racine d'un
+facteur irréductible sur une racine du même), et d'après
+\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b) il opère
+\emph{transitivement} sur les racines de n'importe quel facteur
+irréductible, mais il n'est pas forcément évident de comprendre en
+quoi toute permutation n'est pas forcément possible au sein des
+racines d'un même polynôme irréductible, et il n'est pas non plus
+évident de \emph{calculer} effectivement un groupe de Galois.
+
+\thingy Dans beaucoup de cas, le groupe de Galois d'un polynôme $f \in
+K[t]$ irréductible séparable de degré $n$ est égal au groupe
+$\mathfrak{S}_n$ de toutes les permutations des racines de $f$ (ceci
+se produit, bien sûr, exactement quand le corps de décomposition
+de $f$ a pour degré $n!$ sur $K$).
+
+Un exemple où ceci se produit est le polynôme $t^3 - 2$
+sur $\mathbb{Q}$ dont le corps de décomposition est
+$\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ (où $\zeta$ est racine primitive
+cubique de l'unité) qui a degré $6$ sur $\mathbb{Q}$ : toutes les
+permutations des racines $\sqrt[3]{2},\zeta\sqrt[3]{2},\zeta^2
+\sqrt[3]{2}$ est possible (i.e., définit un automorphisme du corps de
+décomposition).
+
+Un exemple où ceci \emph{ne} se produit \emph{pas} est le polynôme
+$t^4 + t^3 + t^2 + t + 1$ sur $\mathbb{Q}$ dont les racines sont les
+racines primitives cinquièmes de l'unité : ici le corps de
+décomposition est égal au corps de rupture car dès qu'on a une racine
+$\zeta$ les autres sont de la forme $\zeta^i$ — cette même remarque
+prouve qu'un élément du groupe de Galois est déterminé par l'image de
+la seule racine $\zeta$, et on peut se convaincre que le groupe est
+exactement $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \cong
+\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
+
 \bigbreak
 
 Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin :
-- 
cgit v1.2.3

