From ca02b0b103218cb67743f578dcc68c6459fd08fe Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 3 Apr 2016 01:00:19 +0200
Subject: Re-read and improve various parts.

---
 notes-accq205.tex | 197 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 140 insertions(+), 57 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index a8d8f9f..5768c06 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3593,7 +3593,7 @@ peuvent pas être représentées comme des courbes planes
 non-singulières).
 
 
-\subsection{Valuations et places}\label{subsection-places-of-function-fields}
+\subsection{Anneaux de valuations}\label{subsection-valuation-rings}
 
 \begin{defn}\label{definition-valuation-ring}
 Soit $K$ un corps.  On appelle \index{valuation (anneau
@@ -3658,14 +3658,20 @@ Si $R$ est un anneau de valuation de $K$ et $v\colon K \to \Gamma \cup
 \item[(i)]$v(xy) = v(x)+v(y)$,
 \item[(ii)]$v(x+y) \geq \min(v(x),v(y))$,
 \end{itemize}
-et de plus, dans (ii), il y a égalité si $v(x)\neq v(y)$.  L'anneau
-$R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in K : v(x)
-\geq 0\}$.  Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement
-ordonné et $v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction
-surjective vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x)
-\geq 0\}$ est un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation
-associée : on dit alors que $v$ est une \defin{valuation} sur $K$ ou
-sur $R$.
+et de plus,
+\begin{itemize}
+\item[(ii.b)] $v(x+y) = \min(v(x),v(y))$ si $v(x)\neq v(y)$,
+\end{itemize}
+qui est une conséquence des précédentes.
+
+L'anneau $R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in
+K : v(x) \geq 0\}$.
+
+Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné et
+$v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction surjective
+vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ est
+un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation associée : on dit
+alors que $v$ est une \defin{valuation} sur $K$ ou sur $R$.
 
 En particulier, on peut définir un anneau de valuation discrète comme
 un anneau $R$ muni d'une fonction $v\colon \Frac(R) \to \mathbb{Z}
@@ -3715,7 +3721,17 @@ et $\infty$.  Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps
 de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive
 sur $k$, ce qui revient au même).
 
-\thingy Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$
+\thingy\label{remark-on-sums-in-valuation-rings} Une conséquence
+fréquemment utilisée des propriétés des valuations est qu'une somme
+$x_1 + \cdots + x_n$ dans laquelle un des termes a une valuation
+\emph{strictement plus petite} que tous les autres n'est jamais nulle.
+(En effet, si $v(x_i) < v(x_j)$ pour tout $j\neq i$, alors $v(x_i) <
+v(y)$ où $y := \sum_{j\neq i} x_j$ d'après la propriété (ii), et
+(ii.b) entraîne alors que la valuation de la somme est égale à celle
+de $x_i$, donc n'est pas $\infty$.).
+
+\thingy\label{valuations-on-integral-domains}
+Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$
 (où $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné) une fonction vérifiant
 (o), (i) et (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function},
 alors $A$ est intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier
@@ -3765,21 +3781,56 @@ type d'exemple ne nous intéressera guère, car on va voir
 en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les
 valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes.
 
+\begin{prop}\label{local-rings}
+Les deux propriétés suivantes sur un anneau $R$ sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $R$ a un unique idéal maximal,
+\item le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des unités
+  de $R$ est un idéal (forcément maximal)
+\end{itemize}
+Un anneau vérifiant ces propriétés est appelé un anneau \defin[local
+  (anneau)]{local}.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $R^\times$ l'ensemble des unités de $R$.  Comme une unité
+engendre l'idéal (unité !) $R$, tout idéal autre que $R$ est inclus
+dans le complémentaire $R \setminus R^\times$.
+
+Si $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout élément $x
+\in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal $(x)$ qui est
+inclus dans $\mathfrak{m}$ d'après \ref{existence-maximal-ideals},
+donc $x \in \mathfrak{m}$ : ceci montre $(R\setminus R^\times)
+\subseteq \mathfrak{m}$, et l'inclusion réciproque résulte du
+paragraphe précédent.
+
+Réciproquement, si $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a expliqué
+qu'il continent tout autre idéal strict, et en particulier, il est
+maximal.
+\end{proof}
+
+\thingy Un exemple d'anneau local est celui formé des fractions
+rationnelles $f/g \in k(t_1,\ldots,t_n)$ dont un dénominateur $g$ (ou,
+si on préfère, le dénominateur réduit) ne s'annule pas à l'origine (on
+vérifie facilement qu'il s'agit d'un anneau) : son idéal maximal est
+alors formé de celles dont le \emph{numérateur} s'annule à l'origine.
+
+Plus généralement, si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de
+$k[t_1,\ldots,t_n]$, l'anneau des fractions rationnelles de la forme
+$f/g$ avec $f,g \in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $g\not\in\mathfrak{p}$
+(i.e., le dénominateur réduit n'est pas identiquement nul
+sur $V(\mathfrak{p})$) est un anneau local dont l'idéal maximal est
+formé des fractions avec $f\in\mathfrak{p}$ et $g\not\in\mathfrak{p}$.
+
 \begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings}
-Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local
-  (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal
-maximal, à savoir le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$
-des unités de $R$.
+Un anneau de valuation est un anneau local.
 \end{prop}
 \begin{proof}
 Pour $x\in R$, on sait que $x \not\in R^\times$ équivaut à $v(x) > 0$.
 Il s'ensuit que l'ensemble de ces $x$ est un idéal (c'est un groupe
 additif d'après la propriété (ii)
 de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, et il est absorbant
-pour la multiplication d'après la propriété (i)).  Comme aucun idéal
-autre que l'idéal unité ($R = (1)$) ne peut contenir d'élément
-inversible, c'est le plus grand idéal strict (=différent de l'idéal
-unité) pour l'inclusion, c'est donc bien le seul idéal maximal.
+pour la multiplication d'après la propriété (i)).  On conclut
+par \ref{local-rings}.
 \end{proof}
 
 \thingy Le corps quotient d'un anneau local $R$ par son idéal maximal
@@ -3931,9 +3982,9 @@ car on a $v(x^i) = i\,v(x)$, et si $a \in R$, comme $v(a) \geq 0$, on
 a $v(a x^i) \geq i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a une relation $x^n
 + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du terme $x^n$ est
 $n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de n'importe quel
-autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle (on
-utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} et le cas
-d'égalité dans (ii)).  Ceci montre une inclusion.
+autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle
+(cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}).  Ceci montre une
+inclusion.
 
 Montrons réciproquement que si $x$ n'est pas entier sur $A$ alors il
 existe un anneau de valuation de $K$ contenant $A$ auquel $x$
@@ -3951,21 +4002,25 @@ contienne $\mathfrak{p}$.  En particulier, $v_R(y) > 0$, donc $v_R(x)
 < 0$, ce qui signifie $x \not\in R$, ce qu'on voulait montrer.
 \end{proof}
 
+Les anneaux de valuation \emph{discrète} (ceux dont le groupe des
+valeurs est $\mathbb{Z}$) ont des propriétés supplémentaires que n'ont
+pas les anneaux de valuation en général :
+
 \begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal}
 Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation \emph{discrète}, dont on
 note $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal
 (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation.
 Alors :
 \begin{itemize}
-\item[(i)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en
+\item[(a)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en
   tant qu'idéal si et seulement si $v(t) = 1$ (où $1$ désigne le plus
   petit élément strictement positif du groupe des valeurs, qui
   identifie ce dernier à $\mathbb{Z}$), et en fixant $t$ un élément
   comme on vient de dire (et il en existe),
-\item[(ii)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la
+\item[(b)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la
   forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in
   \mathbb{Z}$, auquel cas on a $r = v(x)$,
-\item[(iii)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal
+\item[(c)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal
   $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en
   particulier, $\mathcal{O}$ est principal).
 \end{itemize}
@@ -3974,7 +4029,7 @@ Un élément $t$ tel que $v(t) = 1$ s'appelle une \defin{uniformisante}
 de l'anneau de valuation discrète $\mathcal{O}$.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-Montrons le (i).  Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement
+Montrons le (a).  Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement
 $v(t) = 1$ car pour tout $x$ tel que $v(x) > 0$, on peut écrire $x = t
 z$ pour un certain $z \in \mathcal{O}$ (puisque $x \in \mathfrak{m}$
 et que $t$ engerndre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien
@@ -3987,7 +4042,7 @@ v(t)$ par la minimalité supposée de $v(t)$, c'est-à-dire $x/t \in
 L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de
 la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs).
 
-Montrons maintenant le (ii).  Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de
+Montrons maintenant le (b).  Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de
 valuation nulle, c'est-à-dire dans $\mathcal{O}^\times$.
 Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) = v(u) + r v(t) = r$
 puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$.
@@ -3996,7 +4051,7 @@ Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les
 éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de
 valuation $\geq r$.
 
-Montrons enfin le (iii).  Si $x \in I$ a la plus petite valuation
+Montrons enfin le (c).  Si $x \in I$ a la plus petite valuation
 possible pour un élément de $I$, disons $x = u t^r$ comme on vient de
 voir, et alors $t^r \in I$ donc $I$ contient l'idéal engendré par
 $t^r$, qui d'après le paragraphe précédent est $\{x\in\mathcal{O} :
@@ -4027,6 +4082,8 @@ indépendants sur $k(x_n)$, et en particulier le degré $[K : k(x_n)]$
 := \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ est le corps résiduel de la
 place $v$.
 \end{lem}
+(Voir aussi le théorème \ref{degree-identity} plus bas pour une
+généralisation de (B) et (C).)
 \begin{proof}
 Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et
 cherchons à montrer la transcendance de $x$ : on a $v(x^i) = i\,v(x)$,
@@ -4035,15 +4092,15 @@ au-dessus de $k$), on a $v(a x^i) = i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a
 une relation $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du
 terme $x^n$ est $n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de
 n'importe quel autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse
-être nulle (on utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}
-et le cas d'égalité dans (ii)).  Le cas $v(x) > 0$ s'en déduit en
-passant à $x^{-1}$ (l'inverse d'un algébrique étant encore algébrique,
+être nulle (cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}).  Le cas
+$v(x) > 0$ s'en déduit en passant à $x^{-1}$ (l'inverse d'un
+algébrique étant encore algébrique,
 cf. \ref{relative-algebraic-closure}).  Enfin, une fois connu le fait
 que $x$ est transcendant, donc une \emph{base} de transcendance de $K$
 sur $k$ (cf. \ref{transcendence-basis-facts} (1a) et (3)), l'extension
 $k(x) \subseteq K$ est algébrique, et comme elle est aussi de type
 fini, elle est \emph{finie}
-(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1)).  Ceci démontre (A).
+(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2)).  Ceci démontre (A).
 
 Passons à l'affirmation (B) : supposons qu'on ait $f_1 x_1 + \cdots +
 f_n x_n = 0$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls.  Posons $x := x_n$.
@@ -4057,7 +4114,8 @@ $c_j x_j + \cdots + c_n x_n + g_1 x x_1 + \cdots + g_n x x_n = 0$.  Or
 la valuation $v(c_j x_j) = v(x_j)$ est strictement plus petite que
 celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i)
 \geq 0$ et $v(x x_i) = v(x_n) + v(x_i) > v(x_n) \geq v(x_j)$), ce qui
-interdit que la somme puisse être nulle.  Ceci démontre (B).
+interdit que la somme puisse être nulle
+(cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}).  Ceci démontre (B).
 
 Pour ce qui est de (C) : considérons des éléments $b_1,\ldots,b_n$ de
 $\varkappa_v$ qui sont linéairement indépendants sur $k$, et soient
@@ -4224,9 +4282,9 @@ irréductibles (si $f \in k[t]$, c'est bien l'exposant de la
 décomposition en produit d'irréductibles, et pour une fraction
 rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant
 qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme
-irréductible).  Si on préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où
-$\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture algébrique
-$k^{\alg}$ fixée.
+irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}).  Si on
+préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine
+quelconque de $h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée.
 
 Il est facile de vérifier que ces $v_h$ sont bien des valuations au
 sens de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (il suffit par
@@ -4237,21 +4295,25 @@ k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des fractions
 rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit) est bien
 un anneau de valuation.
 
-Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre que le
-corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$, c'est
-simplement $k$) : en effet, \textit{a priori} $\varkappa_h = R_h/(h)$,
+\thingy Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre
+que le corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$,
+c'est simplement $k$).  En effet, on a \textit{a priori} $\varkappa_h
+= R_h/(h)$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ;
 mais en fait tout élément de $R_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$
 avec $g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de
 Bézout $u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la
-somme de $uf \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que
-finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$.  Ce qu'on a appelé degré de la place
-$v_h$ est donc simplement le degré de $h$ ; et les places rationnelles
-sont les $v_h$ avec $\deg h = 1$, c'est-à-dire, en fait, l'évaluation
-en un certain point $x \in k$ (si $h(t) = t-x$ : on rappelle que le
-reste de la division euclidienne de $f\in k[t]$ par $t-x$ est
-simplement $f(x)$).  La valeur de $f$ en la place $v_\xi$ définie par
-un $\xi \in k^{\alg}$ (c'est-à-dire par son polynôme minimal $h$) peut
-s'identifier à la valeur $f(\xi)$ dans le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$.
+somme de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que
+finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$.
+
+Ce qu'on a appelé degré de la place $v_h$ est donc simplement le degré
+de $h$ ; et les places rationnelles parmi les $v_h$ sont celles avec
+$\deg h = 1$, c'est-à-dire, en fait, l'évaluation en un certain point
+$x \in k$ (si $h(t) = t-x$ : on rappelle que le reste de la division
+euclidienne de $f\in k[t]$ par $t-x$ est simplement $f(x)$).  Plus
+généralement, le paragraphe précédent montre que la valeur de $f$ en
+la place $v_\xi$ définie par un $\xi \in k^{\alg}$ (c'est-à-dire par
+son polynôme minimal $h$) peut s'identifier à la valeur $f(\xi)$ dans
+le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$.
 
 \thingy Il existe une autre valuation non-triviale de $k(t)$ au-dessus
 de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la
@@ -4261,11 +4323,11 @@ numérateur.  On la notera $v_\infty$.
 L'anneau de valuation $R_\infty$ associé est l'anneau des fractions
 rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou égal à
 celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$, le
-morphisme d'évaluation $R_\infty/(\frac{1}{t})$ étant donné par la
-valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que définie
-en \ref{function-field-of-the-line}).  On peut s'en convaincre en
-remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme de
-$k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa.
+morphisme d'évaluation dans $R_\infty/(\frac{1}{t}) = k$ étant donné
+par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que
+définie en \ref{function-field-of-the-line}).  On peut s'en convaincre
+en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme
+de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa.
 
 On vient de construire un certain nombre de places de $k(t)$ : en
 fait, ce sont les seules :
@@ -4310,7 +4372,7 @@ valeur $1$ doit être atteinte.
 
 \thingy Pour comprendre le théorème suivant, il faut se rappeler que
 si $v$ est une valuation, dire que $v(f-g)$ est grand signifie que $f$
-et $g$ sont « très proches autour de $v$ » : par exemple, pour des
+et $g$ sont « très proches au sens de $v$ » : par exemple, pour des
 fractions rationnelles, $v_\xi(f-g) \geq r$ signifie que les
 développements limités de $f$ et $g$ en $\xi$ coïncident jusqu'à
 l'ordre $r-1$ (c'est-à-dire jusqu'à un terme d'erreur
@@ -4452,16 +4514,23 @@ est $L$.  En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
 conclut la récurrence.
 \end{proof}
 
-\begin{thm}
+\begin{thm}\label{degree-identity}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non
-constant et soient $v_1,\ldots,v_n$ les places où $x$ a un zéro
-(c'est-à-dire $v_i(x) \geq 0$).  Alors
+constant (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}) : alors l'ensemble
+des places où $x$ a un zéro (c'est-à-dire $v(x) > 0$) est fini, et si
+on les note $v_1,\ldots,v_n$, on a :
 \[
 \sum_{i=1}^n v_i(x)\,\deg(v_i) = [K : k(x)]
 \]
 \end{thm}
+(Rappelons que $[K : k(x)]$ est fini,
+cf. \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve}(A).)
 \begin{proof}
-Les deux inégalités se démontrent indépendamment.
+Les deux inégalités se démontrent indépendamment.  Dans
+l'inégalité $\leq$, on n'utilisera pas le fait que $v_1,\ldots,v_n$
+soient \emph{toutes} les places où $x$ a un zéro, ce qui prouvera, en
+particulier, qu'il y en a bien un nombre fini (majoré par $[K :
+  k(x)]$).
 
 \emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.}
 
@@ -4538,6 +4607,20 @@ nul.  Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des
 $z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$.
 \end{proof}
 
+\begin{cor}
+Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non
+nul.  Alors l'ensemble des places où $x$ a un zéro ou un pôle est
+fini.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Si $x$ est constante (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}), le
+résultat est trivial (l'ensemble des pôles est vide, et l'ensemble des
+zéros est vide si $x\neq 0$).  Si $x$ n'est pas constant, le
+théorème \ref{degree-identity} montre que l'ensemble des zéros a pour
+cardinal au plus $[K : k(x)]$, qui est fini ; et pour ce qui est des
+pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$.
+\end{proof}
+
 
 
 % TODO:
-- 
cgit v1.2.3

