From ceae182060fd857824f396a8f161ffebcb9b8c02 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 8 Apr 2016 15:15:04 +0200
Subject: Picard group of the projective line.

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@@ -4425,6 +4425,52 @@ fraction rationnelle $f/g$, et nécessairement $v(t) = -1$ puisque la
 valeur $1$ doit être atteinte.
 \end{proof}
 
+\thingy Lorsque $k$ est algébriquement clos, les places de
+$\mathbb{P}^1_k$ (:= la droite projective sur $k$, c'est-à-dire la
+courbe dont le corps des fonctions est $k(t)$) peuvent donc
+s'identifier aux éléments de $k$ (le point $x\in k$ étant identifié à
+la valuation qui à $f \in k(t)$ associe l'ordre $v_x(f)$ du zéro, ou
+l'opposé de l'ordre du pôle, de $f$ en $x$) plus un élément
+supplémentaire $\infty$ (correspondant à la valuation $v_\infty$ à
+l'infini).  C'est cette vision (« la droite des points de $k$ plus un
+  point à l'infini ») qu'on a à l'esprit en traitant $\mathbb{P}^1_k$
+de « droite projective ».
+
+Lorsque $k$ n'est plus supposé algébriquement clos, les places de
+$\mathbb{P}^1_k$ sont un peu plus compliquées ; il faut imaginer que
+chaque polynôme unitaire irréductible $h \in k[t]$ définit une place
+qui correspond intuitivement à l'\emph{ensemble} de ses racines dans
+la clôture algébrique : si $k$ est parfait, il s'agit exactement des
+\emph{orbites} sous le groupe de Galois absolu (comparer
+avec \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations}
+et \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}(3)).  Par
+exemple, les places de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$ autres que $\infty$
+sont soit les réels soit les \emph{paires} de complexes conjugués (en
+particulier, la place associée à l'unitaire irréductible $t^2 + 1$
+correspond à l'ensemble $\{\pm\sqrt{-1}\}$ de ses racines, la
+multiplicité de $t^2 + 1$ dans la factorisation d'une fraction
+rationnelle réelle est l'ordre du zéro ou l'opposé de l'ordre du pôle
+en $+\sqrt{-1}$ ou $-\sqrt{-1}$ indifféremment).
+
+\danger Il ne faut pas s'imaginer que la place $\infty$ soit
+intrinsèquement différente des autres.  Elle ne l'est qu'à cause du
+choix particulier de l'indéterminée $t$ dans $k(t)$.  Mais si $a,b,c,d
+\in k$ sont quatre éléments de $k$ vérifiant $ad - bc = 1$, et si on
+pose $t' := \frac{at+b}{ct+d} \in k(t)$, il est facile de voir que
+$t'$ est aussi un transcendant et $k(t') = k(t)$ (puisqu'on peut
+retrouver $t$ à partir de $t'$ par $t = \frac{dt'-b}{-ct'+a}$), et la
+place qui était notée $\infty$ dans $k(t)$ devient $\frac{a}{c}$ quand
+on voit ce même corps comme $k(t')$ (autrement dit, il faut comprendre
+que quand $t$ « vaut » $\infty$, alors $t'$ « vaut » $\frac{a}{c}$),
+et inversement la place qui est notée $\infty$ dans $k(t')$ correspond
+à $-\frac{d}{c}$ dans $k(t)$.  (Pour dire la même chose autrement, on
+a un isomorphisme $k(t') \buildrel\sim\over\to k(t)$ donné par $f
+\mapsto f(\frac{at+b}{ct+d})$, et la composition par cet isomorphisme
+transforme la valuation $v_\infty$ sur $k(t)$ en la valuation
+$v_{a/c}$ sur $k(t')$.)  Bref, la place $\infty$ est simplement la
+place où \emph{la coordonnée choisie} (i.e., le transcendant choisi
+pour engendrer $k(\mathbb{P}^1_k)$) a son pôle.
+
 
 \subsection{L'indépendance des valuations}\label{subsection-independence-of-valuations}
 
@@ -4773,7 +4819,12 @@ f^*((0)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) > 0} v_P(f)\cdot (P)\\
 f^*((\infty)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) < 0} -v_P(f)\cdot (P)\\
 \divis(f) := f^*((0)-(\infty)) &= \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)\\
 \end{align*}
-où $v_P$ est la valuation correspondant à la place $P$.
+où $v_P$ est la valuation correspondant\footnote{Formellement, avec la
+  présentation utilisée ici, $v_P$ et $P$ sont \emph{égaux}.  Il est
+  cependant utile de les distinguer, et d'appeler $P$ une « place » de
+  la courbe (voire, un « point fermé »), et $v_P$ la « valuation en la
+    place $P$ » ou « valuation correspondant à la place $P$ ».} à la
+place $P$.
 \end{defn}
 
 \thingy Le théorème \ref{degree-identity} affirme que le degré du
@@ -4792,16 +4843,46 @@ Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle
 \defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré
 zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)$ pour
 une certaine fonction $f \in k(C)$ non constante.  Les diviseurs
-principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs : on dit que
-deux divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents
-  (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$,
-lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal.  Le groupe
-des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs
-principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard
-  (groupe de)]{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré
-zéro) de la courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
+principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs, et même des
+diviseurs de degré zéro : on dit que deux divieurs $D$ et $D'$ sont
+\defin[linéairement équivalents (diviseurs)]{linéairement
+  équivalents}, et on note $D \sim D'$, lorsque leur différence $D'-D$
+est un diviseur principal.  Le groupe des diviseurs (resp. diviseurs
+de degré $0$) modulo les diviseurs principaux (=modulo équivalence
+linéaire) s'appelle \defin[Picard (groupe de)]{groupe de Picard}
+(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$, et est
+noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$).
 \end{defn}
 
+\thingy À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite
+projective $\mathbb{P}^1_k$ sur un corps $k$.  On a vu
+en \ref{subsection-places-of-the-projective-line} que les places
+de $\mathbb{P}^1_k$ sont en correspondance avec les polynômes
+unitaires irréductibles de $k[t]$, plus une place « à
+  l'infini » $\infty$.  Disons qu'on note $P_h$ la place correspondant
+à la valuation $v_h$, pour $h$ unitaire irréductible, qui vérifie
+$\deg P_h = \deg h$ ; pour $h$ de degré un, c'est-à-dire de la forme
+$t - x$, on peut noter simplement $x$ la place en question (i.e.,
+$v_x(f)$ est l'ordre du zéro, ou l'opposé de l'ordre du pôle, d'une
+fonction rationnelle $f$ en $x$).
+
+Si $D = n_\infty (\infty) + \sum_h n_h\cdot(P_h) \in
+\Divis(\mathbb{P}^1_k)$ est un diviseur sur $\mathbb{P}^1_k$ (où
+$n_\infty$ et les $n_h$ sont des entiers, et tous les $n_h$ sont nuls
+sauf un nombre fini), on peut définir une fonction $f := \prod_h
+h^{n_h}$ qui vérifie $v_h(f) = n_h$ par construction, donc $\divis(f)
+= n'_\infty (\infty) + \sum_h n_h\cdot (P_h)$ où $n'_\infty = -\sum_h
+n_h \deg(h)$ est la valuation $v_\infty(f)$ puisque $v_\infty(h) =
+-\deg(h)$.  Les diviseurs $D$ et $\divis(f)$ ne diffèrent donc que par
+$(n_\infty - n'_\infty) \cdot(\infty)$, et ce diviseur est nul si en
+fait $D \in \Divis^0(\mathbb{P}^1_k)$ (c'est-à-dire que le degré
+$n_\infty + \sum_h n_h \deg(h) = n_\infty - n'_\infty$ de $D$ est
+nul).  Ceci prouve que tout diviseur est linéairement équivalent à un
+multiple de $(\infty)$ et que les diviseurs de degré zéro sur
+$\mathbb{P}^1_k$ sont exactement les diviseurs principaux.  Autrement
+dit, $\Pic(\mathbb{P}^1_k) = \mathbb{Z}$ (l'isomorphisme étant donné
+par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$.
+
 
 
 % TODO:
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cgit v1.2.3

