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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 10 Apr 2016 19:55:19 +0200
Subject: Obtaining points from places.

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 notes-accq205.tex | 83 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -5486,6 +5486,89 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
 \end{proof}
 
 
+\subsection{Points et places}\label{subsection-points-and-places}
+
+\thingy On a défini en \ref{definition-function-field} un « corps de
+  fonctions de courbe » $K = k(C)$ sur $k$ comme une extension de
+corps de $k$ qui soit de type fini et de degré de transcendance $1$
+sur $k$.  La « courbe » elle-même n'a pas été définie et est
+considérée comme un objet purement formel dont on peut parler
+essentiellement à travers ses fonctions (i.e., les éléments de $K$) et
+ses places (i.e., les valuations — forcément discrètes — non-triviales
+de $K$ au-dessus de $k$).
+
+Cependant, si $Z(I)$ est un fermé de Zariski irréductible défini par
+un idéal $I$ premier de $k[t_1,\ldots,t_n]$ tel que que le corps des
+fractions $K$ de l'anneau $A := k[t_1,\ldots,t_n]/I$ (des fonctions
+régulières sur $Z(I)$) soit de degré de transcendance $1$ sur $k$
+(\emph{par exemple} $I = (P) \subseteq k[x,y]$ avec $P$ irréductible
+comme en \ref{function-field-of-a-plane-curve}), on a envie de faire
+un lien entre les « points » (rationnels ou fermés) de $Z(I)$
+(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) et les
+places de la courbe $C$ définie par $K$.  Un tel rapport existe, même
+s'il n'est pas parfait.
+
+\thingy Dans un sens, on peut considérer les classes de
+$t_1,\ldots,t_n$ modulo $I$ comme des fonctions régulières
+(cf. \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set}) sur $Z(I)$, donc
+des éléments de $K = \Frac(A)$, i.e., des fonctions « sur $C$ », qu'on
+notera $\bar t_1,\ldots,\bar t_n$.  Précisément, si $P$ est une place
+de $C$ (c'est-à-dire de $K$), on peut considérer l'évaluation en $P$
+de $\bar t_i$ (cf. \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}),
+c'est-à-dire soit la classe de $\bar t_i \in \mathcal{O}_P$ modulo
+$\mathfrak{m}_P$, si $\ord_P(\bar t_i) \geq 0$, soit le
+symbole $\infty$.
+
+Lorsque aucun des $\bar t_i$ n'a de pôle en $P$, ce qui peut se
+traduire par $\ord_P(\bar t_i) \geq 0$ pour chaque $i$, ou encore $A
+\subseteq \mathcal{O}_P$ (vu que $A$ est le sous-anneau $k[\bar
+  t_1,\ldots,\bar t_n]$ de $K$ engendré par $k$ et les $\bar t_i$),
+les évaluations en $P$ des $\bar t_i$, vues comme des éléments de
+$\varkappa_P$ qu'on peut plonger de différentes manières
+dans $k^{\alg}$ (cf. \ref{degree-of-a-place}), définissent des points
+dans $(k^{\alg})^n$ : ces points sont solutions des équations $h_j$
+définissant $I$ (disons $I = (h_1,\ldots,h_m)$) car $h_j(\bar
+t_1,\ldots,\bar t_n) = 0$ pour chaque $j$, ce qui donne la même
+propriété sur leurs classes modulo $\mathfrak{m}_P$.  On a donc
+associé à chaque place $P$ de $C$ telle que $A \subseteq
+\mathcal{O}_P$ des points géométriques de $Z(I)$ (pour être un peu
+plus précis, il faudrait considérer les différents plongements de
+$\varkappa_P$ dans $k^{\alg}$, ce qui, si $k$ est parfait, peut être
+décrit comme une orbite sous Galois).
+
+Une autre façon de procéder consiste à remarquer que, toujours si
+aucun des $\bar t_i$ n'a de pôle en $P$, c'est-à-dire si $A \subseteq
+\mathcal{O}_P$, l'intersection $\mathfrak{p} := A \cap \mathfrak{m}_P$
+de $A$ avec l'idéal maximal $\mathfrak{m}_P = \{x \in K : \ord_P(x) >
+0\}$ est encore un idéal \emph{maximal} : le fait qu'il s'agisse d'un
+idéal est clair (l'intersection d'un idéal de $\mathcal{O}_P$ avec un
+sous-anneau de celui-ci est certainement un idéal), et il est maximal
+car l'image $A / \mathfrak{p}$ de $A$ dans
+$\varkappa_P = \mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P$ est un sous-anneau de
+$\varkappa_P$ contenant $k$, c'est-à-dire une $k$-algèbre de dimension
+finie intègre, donc un corps
+d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}.  L'idéal $I +
+\mathfrak{p}$ de $k[t_1,\ldots,t_n]$ (abus de notation pour les
+polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathrak{p}$) a le
+même quotient et il est donc lui aussi maximal.  Autrement dit, ceci
+définit ce qu'on a appelé un « point fermé » $Z(I + \mathfrak{p})$
+de $Z(I)$.
+
+Enfin, si dans la situation du paragraphe précédent, $P$ est une place
+rationnelle, i.e., $\varkappa_P = k$, alors $A/\mathfrak{p}$ est aussi
+égal à $k$, c'est-à-dire que $I + \mathfrak{p}$ est un idéal de la
+forme $(t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$ (où $x_i \in k$ est la classe
+de $t_i$ modulo $I+\mathfrak{p}$, c'est-à-dire celle de $\bar t_i$
+modulo $\mathfrak{p}$ ou de façon équivalente de
+modulo $\mathfrak{m}_P$, i.e., l'évaluation de $\bar t_i$ en $P$).  On
+obtient donc bien (le singleton d')un point rationnel de $Z(I)$ dans
+cette situation, qui coïncide avec le point géométrique construit à
+l'avant-dernier paragraphe.  (C'est notamment le cas si $k$ est
+algébriquement clos ; et si $k$ est parfait, on voit donc que le
+point fermé défini au paragraphe précédent est l'orbite sous Galois
+des points géométriques définis à l'avant-dernier paragraphe.)
+
+
 \subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings}
 
 \thingy Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et
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cgit v1.2.3

