From d8e56f248c5f339320b742a6da29de5231a7501b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 27 Feb 2016 19:15:29 +0100
Subject: More on linear disjointness.

---
 notes-accq205.tex | 58 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 50 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'notes-accq205.tex')

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 104c9ae..d067469 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -489,14 +489,15 @@ est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
 montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
   et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.
 
-\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K
-\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors
-$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si
-et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans
-ce cas leur produit lui est égal).  Cela résulte du fait plus précis
-que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$
-une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une
-$k$-base de $L$ (vérification aisée).
+\thingy\label{remark-multiplicativity-of-degree} On aura également
+besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$ sont deux extensions
+imbriquées alors $[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de
+gauche est fini si et seulement si les deux facteurs du membre de
+droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est égal).  Cela
+résulte du fait plus précis que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base
+de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_i
+y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une $k$-base de $L$ (vérification
+aisée).
 
 \thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter :
 
@@ -598,6 +599,32 @@ on a $y_j + \sum_{i=r+1}^n c_{i,j} y_i = 0$ pour chaque $j\leq r$, ce
 qui contredit l'indépendance linéaire des $y_i$ sur $L$.
 \end{proof}
 
+\begin{prop}\label{linear-disjointness-with-basis}
+Soient $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ deux extensions contenues
+dans une même troisième $M$, et soit $(v_j)$ une base de $K$ comme
+$k$-espace vectoriel.  Alors $K$ et $L$ sont linéairement disjointes
+si et seulement si $(v_i)$ est encore linéairement indépendante sur
+$L$ quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+La nécessité (« seulement si ») fait partie de la définition des
+extensions linéairement disjointes appliquée à la base $(v_i)$.
+Montrons la suffisance.  Pour cela, soit $x_1,\ldots,x_n$ des éléments
+de $K$ linéairement indépendants sur $k$, et soient $v_1,\ldots,v_m$
+les éléments de la base qui interviennent dans l'écriture des $x_j$.
+On peut écrire $x_j = \sum_{i=1}^m c_{i,j} v_j$ avec $c_{i,j} \in k$.
+Le fait que les $x_j$ soient linéairement indépendants signifie
+exactement que la matrice des $c_{i,j}$ a rang $n$.  Mais \emph{le
+  rang d'une matrice ne dépend pas du corps sur lequel on la
+  considère}, si bien qu'elle a aussi rang $n$ quand on la voit comme
+une matrice à coefficients dans $L$ : comme par hypothèse les
+$v_1,\ldots,v_m$ vus comme des éléments de $M$ sont linéairement
+indépendants sur $L$, ceci implique que les $x_j = \sum_{i=1}^m
+c_{i,j} v_j$ vus comme des éléments de $M$ sont eux aussi linéairement
+indépendants sur $L$.  On a donc bien prouvé que $K$ et $L$ sont
+linéairement disjointes.
+\end{proof}
+
 \thingy Lorsque $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux
 extensions contenues dans une même troisième $M$, on appelle
 \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le sous-corps de $M$ engendré
@@ -671,6 +698,21 @@ engendré dans $K.L$ par les $(v_j)$, c'est-à-dire que ceux-ci sont
 générateurs, et finalement sont une base de $K.L$.
 \end{proof}
 
+\thingy En particulier, dans les conditions de la proposition
+ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K : k]$, et
+d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi $[K.L : k]
+= [K : k] \cdot [L : k]$.
+
+Réciproquement, si $[K.L : L] = [K : k]$ (ou, ce qui revient au même,
+$[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$) pour deux extensions
+\emph{finies} $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans une
+même troisième, on peut considérer une base de $K$ comme $k$-espace
+vectoriel, qui, d'après \ref{compositum-generated-by-products},
+engendre $K.L$ comme $L$-espace vectoriel, donc en est une base
+puisqu'elle a la bonne dimension.
+D'après \ref{linear-disjointness-with-basis}, ceci assure que $K$
+et $L$ sont linéairement disjointes.
+
 \begin{prop}\label{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps, et $t_1,\ldots,t_n$ des
 indéterminées.  Alors les extension $k\subseteq K$ et $k\subseteq
-- 
cgit v1.2.3

