From dfafd59fe8c7381f89c93b3a6d700d966c4f79e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 18 Mar 2016 16:05:32 +0100
Subject: Drawing of the three standard rational curves.

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@@ -2953,7 +2953,7 @@ simultanément.
   irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$
   en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc
   facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale
-  $x=c$.)  Cette courbe porte le nom standard de « cubique nodale »,
+  $x=c$.)  Cette courbe porte le nom standard de « \textbf{cubique nodale} »,
   et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ».
   (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$
   avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que
@@ -2968,6 +2968,23 @@ simultanément.
   (une fois pour $t=+1$ et une fois pour $t=-1$), essentiellement une
   fois par direction tangente en ce point (les deux tangentes sont
   $y=x$ et $y=-x$).
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=3]
+\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25);
+\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
+\draw (0.777778,-1.037037) .. controls (0.481481,-0.555556) and (0.222222,-0.222222) .. (0,0) ; % t from -4/3 to -1
+\draw (0,0) .. controls (-0.666667,0.666667) and (-1,0.333333) .. (-1,0); % t from -1 to 0
+\draw (-1,0) .. controls (-1,-0.333333) and (-0.666667,-0.666667) .. (0,0); % t from 0 to 1
+\draw (0,0) .. controls (0.222222,0.222222) and (0.481481,0.555556) ..  (0.777778,1.037037); % t from 1 to 4/3
+\coordinate (P) at (-0.888889,-0.296296);
+\draw (P) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (0,0);
+\fill[black] (0,0) circle (.5pt);
+\fill[black] (P) circle (.5pt);
+\node[anchor=north west] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$};
+\node[anchor=east] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2-1,t^3-t)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\bigskip
 \item La courbe d'équation $y^2 = x^3 - x^2$ sur un corps de
   caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas un carré, par
   exemple le corps des réels.  (De nouveau, on vérifie que ce polynôme
@@ -2981,13 +2998,42 @@ simultanément.
   le paramétrage $(x,y) = (t^2+1, t^3+t)$.  On remarquera que cette
   fois le point $(0,0)$ est atteint par des coordonnées qui ne sont
   pas dans $k$ (à savoir $\pm\sqrt{-1}$).
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=3]
+\draw[step=.2cm,help lines] (-0.25,-1.25) grid (2.25,1.25);
+\draw[->] (-0.15,0) -- (2.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
+\draw (1.49,-1.043) .. controls (1.163333,-0.466667) and (1,-0.23333) .. (1,0); % t from -0.7 to 0
+\draw (1,0) .. controls (1,0.23333) and (1.163333,0.466667) .. (1.49,1.043); % t from 0 to 0.7
+\coordinate (P) at (1.111111,0.370370);
+\draw (0,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (P);
+\fill[black] (0,0) circle (.5pt);
+\fill[black] (P) circle (.5pt);
+\node[anchor=north west] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$};
+\node[anchor=west] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2+1,t^3+t)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\bigskip
 \item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible).  Cette
-  courbe porte le nom de « cubique cuspidale » parce que le point
-  $(0,0)$ est un « cusp ».  Le même procédé de paramétrage que
-  ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable
-  directement).  Cette fois-ci, il y a bien bijection, sur n'importe
-  quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 = x^3$ et les éléments
-  de $k$.
+  courbe porte le nom de « \textbf{cubique cuspidale} » parce que le
+  point $(0,0)$ est un « cusp » ou point de rebroussement.  Le même
+  procédé de paramétrage que ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$
+  (par ailleurs trouvable directement).  Cette fois-ci, il y a bien
+  bijection, sur n'importe quel corps $k$, entre les solutions de $y^2
+  = x^3$ et les éléments de $k$.
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=3]
+\draw[step=.2cm,help lines] (-0.75,-1.25) grid (1.75,1.25);
+\draw[->] (-0.65,0) -- (1.65,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
+\draw (1,-1) .. controls (0.333333,0) and (0,0) .. (0,0); % t from -1 to 0
+\draw (0,0) .. controls (0,0) and (0.333333,0) .. (1,1); % t from 0 to 1
+\coordinate (P) at (0.64,0.512);
+\draw (0,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (P);
+\fill[black] (0,0) circle (.5pt);
+\fill[black] (P) circle (.5pt);
+\node[anchor=north east] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$};
+\node[anchor=north west] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2,t^3)$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
 \end{itemize}
 
 Dans chacun de ces exemples, le corps $k(C)$ des fonctions de la
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