From e2a0b601d06a18aee0db52d3160700a30d158ea0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 15 Feb 2016 14:26:42 +0100
Subject: Minor updates.

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@@ -583,7 +583,8 @@ produit : c'est donc une algèbre sur $k$ ou $K$ ou $L$ comme on
 préfère.  Comme $V$ est un sous-anneau de $M$, qui est un corps, il
 s'agit d'un anneau intègre.
 
-Dans le cas où $[K:k] < \infty$, on a $[V:L] < \infty$ car une famille
+Dans le cas où $[K:k] < \infty$, le $L$-espace vectoriel $V$ est
+également de dimension finie, car une famille
 génératrice $(v_j)$ de $K$ comme $k$-espace vectoriel est encore
 génératrice de $V$ comme $L$-espace vectoriel (en effet, si tout
 élément de $K$ peut s'écrire $\sum_j c_j v_j$ pour certains $c_i \in
@@ -1181,7 +1182,7 @@ coefficients sont les racines $p^s$-ièmes de ceux de $f_0$ (c'est là
 qu'on utilise la perfection de $k$), on a $f(t) = f_0(t^{p^s}) =
 (f_1(t))^{p^s}$, et ceci ne peut être irréductible que pour $s=0$.
 
-\begin{prop}[théorème de l'élément primitif]
+\begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem}
 Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$
 et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$
 soit séparable).  Alors l'extension $k\subseteq K$ est monogène,
@@ -1228,6 +1229,13 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut.
 \begin{cor}
 Toute extension finie d'un corps parfait est monogène.
 \end{cor}
+\begin{proof}
+Soit $k$ un corps parfait, $k \subseteq K$ une extension finie :
+d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée
+par un nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables
+sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après
+\ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène.
+\end{proof}
 
 % TODO:
 % * Extensions séparables, composées, sommes, produits.
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cgit v1.2.3

