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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 10 Apr 2016 20:46:46 +0200
Subject: Connections between places and points (unfinished).

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@@ -1768,7 +1768,7 @@ où ce polynôme se scinde (parce que $f_2$ s'y scinde).  C'est donc que
 $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut.
 \end{proof}
 
-\begin{cor}
+\begin{cor}\label{finite-separable-extensions-are-monogeneous}
 Toute extension finie séparable est monogène.  En particulier, toute
 extension finie d'un corps parfait est monogène.
 \end{cor}
@@ -2359,7 +2359,7 @@ maximalité de $\mathfrak{M}$, cette inclusion est en fait une égalité,
 ce qu'on voulait prouver.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)}
+\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)}\label{zariski-lemma}
 Soit $k$ un corps et $k \subseteq K$ une extension de type fini
 \emph{comme $k$-algèbre} (cf. \ref{subalgebra-generated}) : alors $K$
 est en fait une extension \emph{finie}
@@ -3376,7 +3376,8 @@ La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement
 une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point
 \emph{rationnel}).
 
-\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
+\thingy\label{examples-of-singular-rational-curves}
+Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
 données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
 On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
 fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
@@ -5549,7 +5550,7 @@ $\varkappa_P$ contenant $k$, c'est-à-dire une $k$-algèbre de dimension
 finie intègre, donc un corps
 d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}.  L'idéal $I +
 \mathfrak{p}$ de $k[t_1,\ldots,t_n]$ (abus de notation pour les
-polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathrak{p}$) a le
+polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathfrak{p}$) a le
 même quotient et il est donc lui aussi maximal.  Autrement dit, ceci
 définit ce qu'on a appelé un « point fermé » $Z(I + \mathfrak{p})$
 de $Z(I)$.
@@ -5568,6 +5569,35 @@ algébriquement clos ; et si $k$ est parfait, on voit donc que le
 point fermé défini au paragraphe précédent est l'orbite sous Galois
 des points géométriques définis à l'avant-dernier paragraphe.)
 
+\thingy Il ne faut pas s'attendre à ce que la correspondance entre
+(certaines) places de $C$ et points de $Z(I)$ définie aux paragraphes
+précédents soit bijective : dans l'exemple de la cubique nodale
+décrite en \ref{examples-of-singular-rational-curves}, la courbe est
+rationnelle, c'est-à-dire que c'est $\mathbb{P}^1$, et les deux places
+$\pm 1$ de $\mathbb{P}^1$ correspondent au seul point $(0,0)$
+de $Z(I)$.
+
+Néanmoins, elle est \emph{surjective} : c'est le contenu du
+théorème \ref{existence-of-valuations} qui affirme que pour tout idéal
+maximal $\mathfrak{p}$ de $A = k[t_1,\ldots,t_n]/I$ il existe une
+valuation $v$ sur $K = \Frac(A)$ telle que $A \subseteq \mathcal{O}_v$
+et que $A \cap \mathfrak{m}_v = \mathfrak{p}$.  (Notons que $v$ est
+forcément non-triviale puisque $\mathfrak{p} \neq 0$ puisque $A$ n'est
+pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et
+d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce
+qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.)
+
+\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
+dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
+de $Z(I)$.  Pour donner un exemple simple, considérons $P \in k[x,y]$
+irréductible tel que $P(0,0) = 0$ et que $P'_y(0,0) \neq 0$ en notant
+$P'_y$ la dérivée de $P$ par rapport à sa seconde variable.  Si on
+cherche une valuation $v$ de $K := k(\bar x, \bar y : P=0) = k(\bar
+x)[y]/(P)$ qui détermine le point $(0,0)$, c'est-à-dire l'idéal
+$\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$, elle doit vérifier
+$a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; \textcolor{red}{à
+  finir...}
+
 
 \subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings}
 
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cgit v1.2.3

