From e90daf0a355190539010c098a3c87138ad3e42a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 12 Apr 2016 18:13:40 +0200
Subject: Something about extensions of scalars.

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@@ -3362,7 +3362,8 @@ puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites
 de pente variable.  L'exemple qui suit montre que cette hypothèse
 n'est pas anecdotique.
 
-\thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un
+\thingy\label{example-pointless-conic}
+Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un
 corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme
 de deux carrés (de nouveau, on pensera principalement au corps des
 réels).  Le même argument que pour $x^2 + y^2 - 1$ montre que ce
@@ -5507,6 +5508,20 @@ est transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$
 est le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
 \end{proof}
 
+\thingy Pour montrer que l'hypothèse d'existence d'une place
+rationnelle n'est pas inutile, reprenons l'exemple de la « conique
+  sans point » évoquée en \ref{example-pointless-conic} : on a vu que
+(sur un corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est
+pas somme de deux carrés, par exemple le corps des réels) la courbe
+d'équation $x^2 + y^2 = -1$ n'est pas rationnelle.  Elle est pourtant
+de genre $0$ comme il résulte d'une application
+de \ref{genus-does-not-change-under-separable-constant-field-extension}
+ci-dessous à l'extension de corps $k \subseteq k(\sqrt{-1})$ et de
+l'observation que la courbe $x^2 + y^2 = -1$ sur $k(\sqrt{-1})$ est la
+même que $x^{\prime2} + y^{\prime2} = 1$ (quitte à faire le changement
+de variable linéaire $x' = \sqrt{-1}\,x$ et $y' = \sqrt{-1}\,y$) donc
+rationnelle (cf. \ref{example-curve-circle}) donc de genre $0$.
+
 
 \subsection{Points et places}\label{subsection-points-and-places}
 
@@ -5525,11 +5540,10 @@ fractions $K$ de l'anneau $A := k[t_1,\ldots,t_n]/I$ (des fonctions
 régulières sur $Z(I)$) soit de degré de transcendance $1$ sur $k$
 (\emph{par exemple} $I = (h) \subseteq k[x,y]$ avec $h$ irréductible
 comme en \ref{function-field-of-a-plane-curve}), on a envie de faire
-un lien entre les « points » (rationnels, fermés ou géométriques)
-de $Z(I)$
-(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) et les
-places de la courbe $C$ définie par $K$.  Un tel rapport existe, même
-s'il n'est pas parfait.
+un lien entre les « points » (rationnels, fermés ou géométriques,
+cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) de $Z(I)$
+et les places de la courbe $C$ définie par $K$.  Un tel rapport
+existe, même s'il n'est pas parfait.
 
 \thingy Cherchons dans un premier temps à associer un point
 (rationnel, fermé ou géométrique) de $Z(I)$ à une place de $C$.  Il
@@ -5751,6 +5765,9 @@ multiples de $e$).  Cette place $v$ est appelée l'\defin[image d'une
   place par un revêtement]{image} de $w$ par le revêtement $\varphi$,
 et notée $\varphi(w)$.  L'entier $e$ est, pour sa part, appelé
 l'\defin{indice de ramification} de $\varphi$ en la place $w$.
+Lorsque $e$ est égal à $1$, on dit que la place $w$ est \textbf{non
+  ramifiée} pour le revêtement $\varphi$ ; lorsque c'est le cas pour
+toute place $w$, on dit que $\varphi$ est [partout] non ramifié.
 
 Enfin, le degré $[\varkappa_w : \varkappa_v]$ de l'extension des corps
 résiduels (définie par le fait que pour $x\in K$ on a $v(x) \geq 0$
@@ -5884,6 +5901,57 @@ on a aussi $r\deg(P) = \deg(x)$ par une nouvelle application
 de \ref{degree-identity}, on en déduit la formule annoncée.
 \end{proof}
 
+\thingy\label{change-of-scalars-of-a-curve}
+Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $k'$ une
+extension algébrique de $k$.  On peut chercher à considérer une
+courbe, qu'on notera $C_{k'}$, qui soit définie par les mêmes
+équations que $C$ mais sur $k'$.  C'est légitime à condition que les
+extensions $K := k(C)$ et $k'$ de $k$ soient linéairement disjointes
+(à l'intérieur de $K^{\alg}$), typiquement si $C$ était définie
+(cf. \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set}) par un fermé de
+Zariski \emph{géométriquement irréductible} sur $k$ (ou en tout cas,
+qui reste irréductible sur $k'$) :
+cf. \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}.  Sous cette
+hypothèse, on peut définir $C_{k'}$ comme la courbe dont le corps des
+fonctions est le composé $K.k'$ (le composé étant pris
+dans $K^{\alg}$).  On dira que $C_{k'}$ « est définie » pour résumer
+cette situation, et on appellera $C_{k'}$ la courbe obtenue par
+\defin{extension des scalaires} de $C$ de $k$ à $k'$.
+
+Si $k'$ est une extension \emph{finie} de $k$, alors $K.k' =
+k'(C_{k'})$ est une extension de $K$ de même degré fini
+(cf. \ref{linear-disjointness-and-degrees}), et on peut considérer
+qu'on a affaire à un revêtement $C_{k'} \to C$ donné par l'inclusion
+$K \subseteq K.k'$.
+
+\begin{prop}
+Soit $k \subseteq k'$ une extension de corps \emph{finie et
+  séparable}, et soit $C$ une courbe sur un corps $k$ dont le corps
+des fonctions $K := k(C)$ est linéairement disjoint de $k'$ sur $k$
+(par exemple si $C$ est géométriquement intègre,
+cf. \ref{change-of-scalars-of-a-curve}).  Alors $K \subseteq K.k'$ est
+séparable, et le revêtement $C_{k'} \to C$ de courbes sur $k$ défini
+par l'extension $K \subseteq K.k'$ est partout non ramifié.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorème 3.2.3]{Goldschmidt2003},
+\cite[théorème 3.4.2(c)]{FriedJarden2008}
+\end{proof}
+
+\begin{prop}\label{genus-does-not-change-under-separable-constant-field-extension}
+Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible sur un corps $k$, et
+soit $k'$ une extension algébrique \emph{séparable} de $k$.  Soit
+$C_{k'}$ la courbe $k'$ qui est définie par la même équation,
+c'est-à-dire, dont le corps des fonctions est le composé $K.k'$ (où $K
+:= k(C)$, le composé étant pris dans $K^{\alg}$ ;
+cf. \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}).  Alors
+$C_{k'}$ a le même genre que $C$.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Références]
+\cite[théorème 3.4.4]{Goldschmidt2003},
+\cite[théorème 3.4.2(b)]{FriedJarden2008}
+\end{proof}
+
 
 
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