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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 15 Apr 2016 12:23:47 +0200
Subject: Fix incorrect (or incomplete) reasoning about places over regular
 points.

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 notes-accq205.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------
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@@ -5679,27 +5679,66 @@ Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in
 k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en
 notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ;
 quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on
-peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ : c'est-à-dire que $h$ est la somme de
-$cy$ par des termes de degré total au moins $2$.  Soit $K := k(\bar
-x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar x,\bar y$ les
-classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des indéterminées
-elles-mêmes).  Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le
-point $(0,0)$, c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar
-x$ et $\bar y$, elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b :=
-v(\bar y) > 0$ ; et la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la
-valuation des monômes en $\bar x$ et $\bar y$, donc des polynômes, et
-finalement de tout élément de $K$.  Soit $e$ l'exposant de la plus
-petite puissance de $x$ seul qui apparaît dans $h$ (i.e., la valuation
-en $0$ de $h(x,0)$) : tout monôme dans $h$ est alors multiple soit de
-$y$ (plus petite puissance de $y$) soit de $x^e$ (plus petite
-puissance de $x$), donc (modulo $h$) il a une valuation au moins égale
-à $b$ ou à $ae$ ; comme $\bar h$ s'annule dans $K$,
-\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$.  Ainsi,
-la valuation de tout polynôme, donc de tout élément de $K$, est
-multiple de $a$, et comme la valuation doit être surjective, on a
-$a=1$ et du coup $b=e$.  La valuation est donc complètement déterminée
-par la situation, et comme on sait déjà qu'elle doit exister, on a
-montré un cas particulier du résultat suivant :
+peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que
+$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$.
+
+Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar
+x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des
+indéterminées elles-mêmes).
+
+Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$,
+c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$,
+elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et
+la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des
+monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
++ bj$.  On veut montrer que $v$ est unique.  (La difficulté est que la
+valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
+valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
+valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
+que celle des monômes l'est.)
+
+Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
+$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$,
+cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien
+une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas).
+Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$.  Soit $e$
+l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
+de $h(x,0)$).  On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$.  Tout monôme
+dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
+de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit
+modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ;
+comme $\bar h$ s'annule dans $K$,
+\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la
+valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$).  À présent,
+cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement
+la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).
+
+Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
+est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
+$v$-valuation strictement supérieure.  Observons que dans un polynôme
+$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer
+n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$.  Si $f$ est un
+polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite
+$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de
+dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$
+plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.  Si le
+coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la
+valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$.  S'il
+s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
+les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
+supérieure à $a(i + e j)$.  Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est
+finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure
+termine.  On a donc expliqué comment calculer la $v$-valuation de
+$\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre information sur $v$
+que $a$ et $e$.  Du coup, $v$ est uniquement déterminé par ces données
+sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$
+(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}).  Et comme on sait déjà
+qu'elle existe, il y a bien existence et unicité.
+
+Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est
+un multiple de $a$, on a forcément $a=1$.
+
+On a montré un cas particulier du résultat suivant :
 
 \begin{prop}\label{smooth-points-give-unique-place}
 Si $h \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible tel que $h'_x$ et
-- 
cgit v1.2.3

