From ec40c5b303afe5a7bf001aa695daf74c4c757a74 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 15 Apr 2016 12:23:47 +0200 Subject: Fix incorrect (or incomplete) reasoning about places over regular points. --- notes-accq205.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 60 insertions(+), 21 deletions(-) (limited to 'notes-accq205.tex') diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 87c844b..b9a8d78 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5679,27 +5679,66 @@ Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ; quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on -peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ : c'est-à-dire que $h$ est la somme de -$cy$ par des termes de degré total au moins $2$. Soit $K := k(\bar -x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar x,\bar y$ les -classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des indéterminées -elles-mêmes). Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le -point $(0,0)$, c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar -x$ et $\bar y$, elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := -v(\bar y) > 0$ ; et la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la -valuation des monômes en $\bar x$ et $\bar y$, donc des polynômes, et -finalement de tout élément de $K$. Soit $e$ l'exposant de la plus -petite puissance de $x$ seul qui apparaît dans $h$ (i.e., la valuation -en $0$ de $h(x,0)$) : tout monôme dans $h$ est alors multiple soit de -$y$ (plus petite puissance de $y$) soit de $x^e$ (plus petite -puissance de $x$), donc (modulo $h$) il a une valuation au moins égale -à $b$ ou à $ae$ ; comme $\bar h$ s'annule dans $K$, -\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$. Ainsi, -la valuation de tout polynôme, donc de tout élément de $K$, est -multiple de $a$, et comme la valuation doit être surjective, on a -$a=1$ et du coup $b=e$. La valuation est donc complètement déterminée -par la situation, et comme on sait déjà qu'elle doit exister, on a -montré un cas particulier du résultat suivant : +peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que +$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$. + +Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar +x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des +indéterminées elles-mêmes). + +Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$, +c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$, +elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et +la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des +monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai ++ bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la +valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les +valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la +valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait +que celle des monômes l'est.) + +Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si +$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$, +cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien +une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas). +Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$ +l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$ +de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme +dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance +de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit +modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ; +comme $\bar h$ s'annule dans $K$, +\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la +valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À présent, +cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement +la valuation (et qu'on a forcément $a=1$). + +Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$ +est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de +$v$-valuation strictement supérieure. Observons que dans un polynôme +$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer +n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si $f$ est un +polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite +$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de +dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$ +plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. Si le +coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la +valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il +s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont +les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement +supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est +finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure +termine. On a donc expliqué comment calculer la $v$-valuation de +$\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre information sur $v$ +que $a$ et $e$. Du coup, $v$ est uniquement déterminé par ces données +sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$ +(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Et comme on sait déjà +qu'elle existe, il y a bien existence et unicité. + +Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est +un multiple de $a$, on a forcément $a=1$. + +On a montré un cas particulier du résultat suivant : \begin{prop}\label{smooth-points-give-unique-place} Si $h \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible tel que $h'_x$ et -- cgit v1.2.3