From ecfa39c6c9b204322ddc5af90b41ca3eec7aff1c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 28 Feb 2016 00:52:15 +0100
Subject: A counterexample.

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 notes-accq205.tex | 16 ++++++++++++++++
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index 7447025..a6cc066 100644
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@@ -1434,6 +1434,22 @@ d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p)
 = \deg(y)$ et $y$ est séparable.
 \end{proof}
 
+\thingy L'hypothèse « finie » est essentielle
+dans \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}, et ne
+peut pas être remplacée par « algébrique » : un contre-exemple est
+fourni par $k = \mathbb{F}_p(t)$ et pour $K$ la réunion des
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ pour $i\in\mathbb{N}$ (chaque
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ est un corps de fractions rationnelles à une
+indéterminée $t^{1/p^i}$, plongé dans les suivants en identifiant
+$t^{1/p^i}$ à $(t^{1/p^j})^{p^{j-i}}$ si $j\geq i$ : on dit que $K$
+est la « clôture parfaite » de $k$, on l'obtient en prenant toutes les
+racines $p^i$-ièmes des éléments de $k$).  Alors $k \subseteq K$ est
+une extension algébrique ; et $K$ est un corps parfait
+(cf. \ref{definition-perfect-field}), c'est-à-dire que $K^p = K$ (on
+l'a construit exprès pour), et a fortiori $K^p$ engendre $K$ comme
+$k$-espace vectoriel : pourtant, l'extension $k \subseteq K$ n'est
+aucunement séparable (elle est même « purement inséparable »).
+
 \begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions}
 Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.  Si $x_1,\ldots,x_n$ sont
 des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur
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