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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 18 Mar 2016 20:13:45 +0100
Subject: Reinterpretation of linear disjointness from extension of scalars.

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@@ -631,7 +631,10 @@ algébriques sur $k$, donc certainement aussi sur $k(t_1,\ldots,t_n)$,
 et on applique \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).)
 
 
-\subsection{Extensions linéairement disjointes}
+\subsection{Extensions linéairement disjointes}\label{section-linear-disjointness}
+
+(On pourra se référer à \ref{reinterpretation-of-linear-disjointness}
+plus bas pour une réinterprétation des résultats de cette section.)
 
 \begin{defn}\label{definition-linear-disjointness}
 Si $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues
@@ -2937,6 +2940,41 @@ $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} = \mathbb{C}[t]/(t^2+1) =
 \mathbb{C}[t]/((t+\sqrt{-1})(t-\sqrt{-1})) \cong
 \mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
 
+\thingy\label{reinterpretation-of-linear-disjointness} La définition
+de l'extension des scalaires permet de reconsidérer la notion
+d'extensions de corps linéairement disjointes introduite
+en \ref{section-linear-disjointness} ainsi que l'ensemble des
+résultats de cette section :
+
+La proposition \ref{linear-disjointness-with-basis} signifie que deux
+extensions de corps $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans
+une même troisième $M$ sont linéairement disjointes \emph{si et
+  seulement si} le morphisme $K \otimes_k L \to M$ (application
+$L$-linéaire déduite de la factorisation de l'application $K$-linéaire
+$K \to M$ en utilisant la propriété universelle) est injective.  La
+proposition \ref{compositum-generated-by-products} signifie que
+lorsque $L$ est algébrique sur $k$, l'extension composée $K.L$ est
+simplement l'image de cette application $K \otimes_k L \to M$.  La
+proposition \ref{base-of-compositum} en conclut que, toujours avec $L$
+algébrique sur $k$, on a $K$ et $L$ sont linéairement disjointes
+au-dessus de $k$ si et seulement si $K.L = K\otimes_k L$, ou si on
+préfère, si et seulement si $K\otimes_k L$ est un corps (observer que
+si $K\otimes_k L$ est un corps, le morphisme $K \otimes_k L \to M$ est
+forcément injectif).
+
+La
+proposition \ref{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental}
+signifie (en changeant les notations) que \emph{lorsque $k'$ est
+  algébrique sur $k$} on a $k(t_1,\ldots,t_d) \otimes_k k' =
+k'(t_1,\ldots,t_d)$, à comparer avec $k[t_1,\ldots,t_d] \otimes_k k' =
+k'[t_1,\ldots,t_d]$ vu ci-dessus et valable sans hypothèse sur
+l'extension $k \subseteq k'$.  (Pour montrer que la restriction sur
+$k'$ est vraiment pertinente dans le cas des fractions rationnelles,
+signalons que $k(x) \otimes_k k(y)$, si $x,y$ sont deux indéterminées,
+est le sous-anneau de $k(x,y)$ formé des fractions rationnelles qui
+admettent un dénominateur produit d'un polynôme en $x$ et d'un
+polynôme en $y$.)
+
 
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cgit v1.2.3

