From fdc99997066aed911861ddcf27347c3a5e1745e4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 18 Mar 2016 20:36:44 +0100
Subject: More examples of coverings of curves (without saying the word yet).

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@@ -874,7 +874,8 @@ $\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2-1)$ des fractions de
 $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est une extension transcendante pure de
 $\mathbb{R}$, car il est en fait isomorphe à $\mathbb{R}(t)$ où $t =
 \frac{y}{x+1}$ (de réciproque $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $y =
-\frac{2t}{1+t^2}$) : on reviendra sur cet exemple.
+\frac{2t}{1+t^2}$) : on reviendra sur cet exemple
+en \ref{example-curve-circle}.
 
 Certains auteurs disent parfois par abus de langage (ces notes
 tâcheront de l'éviter) que $k \subseteq k(x_1,\ldots,x_n)$ est
@@ -3019,10 +3020,11 @@ On sera éventuellement amené à restreindre la définition qui vient
 d'être donnée.
 
 \thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
-fractions rationnelles en une indéterminée $t$ : on l'appelle
-\textbf{droite projective} (ou simplement « droite ») sur $k$ et on
-peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi,
-$k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
+fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension
+\emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on
+l'appelle \textbf{droite projective} (ou simplement « droite »)
+sur $k$ et on peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement
+$\mathbb{P}^1$ (ainsi, $k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
 
 Il faut imaginer les éléments de $k(t)$ comme des fonctions
 rationnelles sur la droite affine : on verra plus loin comment définir
@@ -3043,7 +3045,9 @@ corps de rupture $k(x)[y]/(P)$
 (cf. \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}
 et \ref{existence-uniqueness-rupture-field}) qu'on notera généralement
 $k(x,y : P=0)$ ; c'est aussi le corps des fractions de $k[x,y]/(P)$
-(puisque c'est un corps contenant $k[x,y]/(P)$ et engendré par lui).
+(puisque c'est un corps contenant $k[x,y]/(P)$ et engendré par lui),
+et du coup, c'est aussi $k(y)[x]/(P)$ dès lors que la variable $x$
+intervient effectivement.
 
 On souhaite dire qu'il s'agit du corps de fonctions $k(C)$ de la
 « courbe plane » $C := \{P=0\}$ : à ce stade-là, il s'agit d'une
@@ -3156,9 +3160,9 @@ quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
 paramétrée.  Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
 qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
 la droite.  (Un exemple encore plus simple d'une courbe rationnelle
-est fourni par la parabole $\{x = y^2\}$, où ici $k(x)[y]/(y^2-x)$ est
-simplement $k(y)$, dans lequel $k(x)$ est vu comme le
-sous-corps $k(y^2)$.)
+est fourni par la parabole $\{x = y^2\}$, rationnellement paramétrée
+par $y$, c'est-à-dire qu'ici $k(x)[y]/(y^2-x)$ est simplement $k(y)$,
+dans lequel $k(x)$ est vu comme le sous-corps $k(y^2)$.)
 
 De façon générale, le même raisonnement que pour le cercle va
 fonctionner pour une conique « non-dégénérée » sur un corps de
@@ -3296,6 +3300,34 @@ géométriques, et on pourrait se convaincre que l'anneau $k[x,y]/(P)$
 des fonctions régulières sur $\{P=0\}$ \emph{n'est pas}
 l'anneau $k[t]$ (bien qu'il ait $k(t)$ comme corps des fractions).
 
+\thingy On a mentionné ci-dessus l'exemple de la parabole $\{x =
+y^2\}$, courbe rationnelle dont le corps des fonctions
+$k(x)[y]/(y^2-x)$ est simplement $k(y)$ à l'intérieur duquel $k(x)$
+est vu comme le sous-corps $k(y^2)$.  Plus généralement, on a la
+courbe $\{x = y^n\}$, courbe rationnelle dont le corps des fonctions
+$k(x)[y]/(y^n-x)$ est simplement le corps des fractions rationnelles
+(=transcendant pur) $k(y)$ à l'intérieur duquel $k(x)$ (lui aussi
+transcendant pur) est vu comme le sous-corps $k(y^n)$.  Si $n$ n'est
+pas multiplie de la caractéristique et que $k$ a une racine primitive
+$n$-ième de l'unité $\zeta$, alors $y \mapsto \zeta y$ définit un
+automorphisme de $k(y)$ dont le corps fixe est exactement $k(y^n) =
+k(x)$.  D'après le théorème \ref{artin-theorem-on-automorphisms}, ceci
+implique que l'extension $k(y^n) \subseteq k(y)$ est galoisienne de
+groupe de Galois $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, ou, mieux $\{\zeta^i\}$,
+qu'on peut vraiment voir comme des transformations sur la courbe
+(envoyant le point géométrique de coordonnées $(x,y)$ sur $(x,\zeta^i
+y)$).
+
+(Si $n$ est multiple de la caractéristique, l'extension $k(y^n)
+\subseteq k(y)$ ne sera pas séparable, mais ça n'empêche pas $k(y)$
+d'être un corps de fonction d'une courbe tout à fait sympathique.)
+
+En caractéristique $p>0$, un autre exemple important est celui de la
+courbe d'équation $x = y^p - y$ : de nouveau, $k(x)[y]/(x-y^p+y)$ est
+simplement $k(y)$ (transcendant pur) à l'intérieur duquel $k(x)$ se
+plonge par $x \mapsto y^p - y$ ; cette fois, c'est $y \mapsto y+1$ qui
+définit un automorphisme de $k(y)$ fixant exactement $k(x)$.
+
 \thingy Lorsque $P \in k[x,y]$ n'est pas irréductible, disons $P =
 P_1\,P_2$ avec $P_1,P_2$ non constants, alors $Z(P) = Z(P_1) \cup
 Z(P_2)$ : autrement dit, on a affaire non pas à une seule courbe mais
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