From ffafc555c0e4c377a7def72ff02dfa21c53e634d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 10 Apr 2016 18:34:00 +0200 Subject: Coverings of curves (very basic facts). --- notes-accq205.tex | 219 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 205 insertions(+), 14 deletions(-) (limited to 'notes-accq205.tex') diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 097d1f5..fc6ae97 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3498,7 +3498,7 @@ y)$). (Si $n$ est multiple de la caractéristique, l'extension $k(y^n) \subseteq k(y)$ ne sera pas séparable, mais ça n'empêche pas $k(y)$ -d'être un corps de fonction d'une courbe tout à fait sympathique.) +d'être un corps de fonctions d'une courbe tout à fait sympathique.) En caractéristique $p>0$, un autre exemple important est celui de la courbe d'équation $x = y^p - y$ : de nouveau, $k(x)[y]/(x-y^p+y)$ est @@ -4253,7 +4253,8 @@ si $\varkappa_v = k$, la place $v$ est dite \defin[rationnelle (place)]{rationnelle}. C'est notamment le cas si $k$ est \emph{algébriquement clos}. -\thingy Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si +\thingy\label{evaluation-of-a-function-at-a-place} +Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si $f\in K$ et si $v \in \mathscr{V}_K$ (i.e., $v$ est une place de $K$), on peut définir $f(v) \in \varkappa_v$ (l'\defin{évaluation} de $f$ en la place $v$) comme valant : @@ -4814,7 +4815,7 @@ ainsi le degré d'une fraction rationnelle. En s'inspirant de ces cas particuliers, on fait la définition générale suivante : -\begin{defn} +\begin{defn}\label{degree-of-a-function} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ et soit $h\in K$ : alors on pose $\deg(h) = [K : k(h)]$ si $h$ est non constant, et $\deg(h) = 0$ si $h$ est constante (\defin[degré (d'une fonction sur @@ -4835,7 +4836,7 @@ est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur. \subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves} \begin{defn} -Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$. Un +Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$. Un \defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit, le groupe $\Divis(C)$ des diviseurs est défini comme le groupe abélien @@ -4856,7 +4857,7 @@ positifs. On note $D \geq 0$ pour cette affirmation. \end{defn} \begin{defn} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, et si $f \in +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et si $f \in K$ est non nulle, on appelle respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les @@ -4899,7 +4900,7 @@ définition exactement la valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$). On évitera d'abuser de cette terminologie. \begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, on appelle \defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} un diviseur sur $C$ (forcément de degré zéro, comme on l'a vu) de la forme $\divis(f) := \sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non @@ -4948,7 +4949,7 @@ par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$. \subsection{Espaces de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch-spaces} \begin{defn} -Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D = +Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, et soit $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un entier $n_P$ pour chaque place de $P$, tous nuls sauf un nombre fini). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch} @@ -5182,7 +5183,7 @@ alors ils sont une base de transcendance séparante. \cite[lemme 2.8.3]{FriedJarden2008} \end{proof} -\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonction de +\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$}, @@ -5225,7 +5226,7 @@ elle l'est moins en caractéristique positive, surtout si $k$ n'est pas parfait. On va essayer de l'éclaircir : \begin{prop}\label{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve} -Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_P$ l'anneau de valuation correspondant\footnote{Voir @@ -5249,7 +5250,7 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \end{proof} \begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in \Omega^1_{K/k}$, on appelle $\ord_P(\omega)$ l'entier $i$ de la @@ -5283,7 +5284,7 @@ pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes (notamment si $k$ est parfait). \begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis} -Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ une place \emph{elle-même séparable}, c'est-à-dire que son corps résiduel $\varkappa_P$ est une extension séparable @@ -5314,7 +5315,7 @@ signalé. \end{proof} \begin{prop}\label{order-of-derivatives} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ une place elle-même séparable (i.e., $\varkappa_P$ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a : @@ -5345,7 +5346,7 @@ utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). \end{proof} \begin{prop} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et soit $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ non nulle. Alors l'ensemble des places $P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini. @@ -5356,7 +5357,7 @@ $P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini. \end{proof} \begin{defn} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et si $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ est non nulle, on appelle \defin[canonique (diviseur)]{diviseur canonique} associé à la différentielle $\omega$ @@ -5485,6 +5486,196 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. \end{proof} +\subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings} + +\thingy Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et +$K \subseteq L$ une extension \emph{finie}. Alors $L$ est lui-même un +corps de fonctions de courbe sur $k$ (le degré de transcendance sur $k$ +est toujours $1$ car $K \subseteq L$ est algébrique ; et $L$ est de +type fini sur $k$ car de type fini sur $K$ qui est lui-même de type +fini sur $k$). Appelons $C'$ la courbe correspondante. On dit dans +ces conditions qu'on a affaire à un \defin[revêtement de + courbes]{revêtement} de courbes sur $k$, noté symboliquement +$C'\to C$ (on va voir prochainement comment associer une place de $C$ +à une place de $C'$). Le \defin[degré (d'un revêtement)]{degré} +du revêtement est défini comme le degré $[L:K]$ de l'extension. + +Plus exactement, un revêtement $\varphi\colon C' \to C$ de courbes est +défini comme un morphisme $\varphi^*\colon k(C) \to k(C')$ d'anneaux, +c'est-à-dire un plongement du corps $k(C)$ des fonctions de $C$ dans +le corps $k(C')$ des fonctions de $C'$ (on note $\varphi^*$ le +morphisme d'anneaux pour le distinguer du revêtement lui-même), qui +fait de $k(C')$ une extension \emph{finie} de $k(C)$. Le degré du +revêtement est $\deg\varphi = [k(C') : k(C)]$. + +Par exemple, n'importe quel élément non constant $x \in K$ définit un +revêtement $C \to \mathbb{P}^1$ donné par l'extension $k(x) \subseteq +K$ (qui est finie car algébrique de type fini), qu'on aura tendance à +identifier à $x$, et dont le degré a déjà été noté $\deg(x)$ +(cf. \ref{degree-of-a-function}). + +\thingy Si $\varphi\colon C'\to C$ est un revêtement de courbes +sur $k$, et si $w$ est une place de $C'$ (c'est-à-dire une valuation +non-triviale sur $L := k(C')$), on peut considérer la restriction +$w|_K = w\circ\varphi^*$ de $w$ à $K := k(C)$. Il est évident qu'elle +satisfait les conditions (o), (i) et (ii) +de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (puisqu'elle les +satisfait déjà sur $L$) : elle définit donc une valuation sur $K$, +mais on prendra garde au fait que cette valuation n'est pas forcément +surjective — on pourrait même imaginer \textit{a priori} qu'elle soit +triviale. + +En fait, $w|_K$ n'est pas triviale, car si $y \in L$ est tel que $w(y) += -1$, en considérant l'équation minimale $y^n + c_1 y^{n-1} + \cdots ++ c_n = 0$ de $y$ sur $K$, avec $c_i \in K$, il n'est pas possible +d'avoir $w(c_i) = 0$ pour chaque $i$ sinon la somme ne s'annulerait +pas (puisque la valuation du terme $y^n$ serait strictement inférieure +aux autres, cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}). + +Le groupe des valeurs $w(K^\times)$ est donc un sous-groupe non +trivial de $w(L^\times) = \mathbb{Z}$, qu'on peut noter $e\mathbb{Z}$, +où $e \geq 1$ est la plus petite valeur strictement positive possible +de $w$ sur un élément de $K$. On définit alors une valuation discrète +$v$ sur $C$ par $v(x) = \frac{1}{e}\,w(x)$ (de manière à ce que $v$ +prenne les valeurs $\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ et pas seulement les +multiples de $e$). Cette place $v$ est appelée l'\defin[image d'une + place par un revêtement]{image} de $w$ par le revêtement $\varphi$, +et notée $\varphi(w)$. L'entier $e$ est, pour sa part, appelé +l'\defin{indice de ramification} de $\varphi$ en la place $w$. + +Enfin, le degré $[\varkappa_w : \varkappa_v]$ de l'extension des corps +résiduels (définie par le fait que pour $x\in K$ on a $v(x) \geq 0$ +ssi $w(x) \geq 0$ et $v(x) > 0$ ssi $v(x) > 0$, si bien que tout +élément de $\varkappa_v = \{x \in K : v(x)\geq 0\} / \{x \in K : +v(x)>0\}$ peut se voir comme un élément de $\varkappa_w = \{x \in L : +w(x)\geq 0\} / \{x \in L : w(x)>0\}$) est appelé le \defin{degré + résiduel} de $\varphi$ en la place $w$. + +\thingy\label{summary-ramification-index-and-residual-degree} +On retiendra la définition de l'indice de ramification sous la +forme suivante : si $\varphi\colon C'\to C$ est un revêtement de +courbes, alors pour tout $f \in k(C)$ et toute place $Q$ de $C'$, on a +\[ +\ord_Q(\varphi^*(f)) = e_{\varphi,Q}\,\ord_{\varphi(Q)}(f) +\] +où $\varphi(Q)$ est la place image de $Q$ par $f$ et où +$e_{\varphi,Q}$ est l'indice de ramification de $\varphi$ en $Q$ +(défini par cette égalité). + +Quant au degré résiduel, on peut utiliser la composition des degrés +$\deg(Q) = [\varkappa_{Q} : k] = [\varkappa_{Q} : \varkappa_P] \cdot +[\varkappa_P : k] = f \deg(P)$ (avec $P := \varphi(Q)$) pour +l'exprimer dans la formule analogue +\[ +\deg(Q) = f_{\varphi,Q}\,\deg(\varphi(Q)) +\] + +Par ailleurs, il est utile de noter que si $x \in k(C)$ est non +constant, en se rappelant qu'on a noté $\deg(x) := [k(C) : k(x)]$, on +a $[k(C') : k(x)] = [k(C') : k(C)] \cdot [k(C) : k(x)]$, c'est-à-dire +\[ +\deg(\varphi^*(x)) = \deg(\varphi)\,\deg(x) +\] + +\begin{prop} +Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, et $f \in K$ +un élément non constant identifié au revêtement $C \to \mathbb{P}^1_k$ +donné par l'extension $k(f) \subseteq K$. Alors pour toute place $P$ +de $C$, la place image $f(P)$ de $\mathbb{P}^1$ définie ci-dessus (par +restriction de $w := \ord_P$ à $k(f)$) coïncide bien avec ce qu'on a +appelé évaluation de $f$ en $P$ +en \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place} (quitte à identifier un +élément de $\varkappa_P$ à la place de $\mathbb{P}^1$ définie par son +polynôme minimal sur $k$, cf. \ref{places-of-the-projective-line}). +De plus, l'indice de ramification de $f$ en $P$ vaut : +\begin{itemize} +\item l'ordre $\ord_P(f)$ du zéro de $f$ en $P$ si $f(P) = 0$ (i.e., + $\ord_P(f) > 0$), +\item l'ordre $-\ord_P(f)$ du pole de $f$ en $P$ si $f(P) = \infty$ + (i.e., $\ord_P(f) < 0$). +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $w = \ord_P$ la valuation correspondant à la place $P$. Pour $g$ +une fraction rationnelle en une indéterminée $t$, on considère +$w|_{k(t)}(g) = \ord_P(g\circ f)$ (on identifie $k(t)$ à $k(f) +\subseteq K$ par la composition à droite par $f$ puisque $f$ est +transcendant, cf. \ref{monogeneous-extensions-dichotomy}) : le but est +de comprendre la valuation ainsi définie (après division par un entier +à déterminer). + +Tout d'abord, dans le cas où $\ord_P(f) < 0$, on a $\ord_P(g\circ f) = +\deg(g)\,\ord_P(f)$ si $g \in k[t]$ comme on le calcule facilement en +écrivant explicitement $g$ et en utilisant +\ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (i) et (ii.b), et par +conséquent (cf. \ref{valuations-on-integral-domains}), on a +$w|_{k(t)}(g) = -v_\infty(g)\,\ord_P(f)$ quel que soit $g\in k(t)$. +Ceci montre bien que la place image est $\infty$ et que l'indice de +ramification est $-\ord_P(f)$. + +Le cas où $\ord_P(f) > 0$ s'en déduit par composition de $g$ +par $\frac{1}{t}$ (avant de composer par $f$) : dans ce cas, on a +$w|_{k(t)}(g) = v_0(g)\,\ord_P(f)$ quel que soit $g\in k(t)$, +c'est-à-dire que la place image est $0$ et que l'indice de +ramification est $\ord_P(f)$. + +Dans le cas où $\ord_P(f) = 0$, soit comme d'habitude $\mathcal{O}_P = +\{x \in K : \ord_P(x) \geq 0\}$ l'anneau de valuation en $P$, et +$\mathfrak{m}_P = \{x \in K : \ord_P(x) > 0\}$ son idéal maximal et +$\varkappa_P = \mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P$ le corps résiduel, et +soit $h \in k[t]$ le polynôme minimal sur $k$ de la classe $\bar f$ de +$f$ modulo $\mathfrak{m}_P$ (i.e., de ce qu'on a appelé évaluation de +$f$ en $P$ en \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}). Le fait que +$h(\bar f) = 0 \in \varkappa_P$ signifie exactement $h\circ f \in +\mathfrak{m}_P$, c'est-à-dire $\ord_P(h\circ f) > 0$, autrement dit +$w|_{k(t)}(h) > 0$. Comme $h$ est unitaire irréductible sur $k$, il y +a (cf. \ref{places-of-the-projective-line}) une unique valuation $v$ +sur $k(t)$ au-dessus de $k$ donnant la valeur $1$ à $h$ : on en déduit +que $w|_{k(t)}(g) = e\, v(g)$ où $e = \ord_P(h\circ f)$. et on a bien +montré comme annoncé que la place $v$ image de $w = \ord_P$ par $f$ +est celle associée au polynôme minimal $h$ de $\bar f = f(P)$. +\end{proof} + +\begin{thm} +Soit $\varphi\colon C'\to C$ un revêtement de courbes sur $k$, soit +$P$ une place quelconque de $C$ et $Q_1,\ldots,Q_n$ les places de $C'$ +dont l'image par $\varphi$ est $P$. Notons $e_i$ l'indice ce +ramification de $\varphi$ en $Q_i$ et $f_i = [\varkappa_{Q_i} : + \varkappa_P]$ le degré résiduel. Alors on a +\[ +\sum_{i=1}^n e_i\,f_i = \deg(\varphi) +\] +\end{thm} +\begin{proof} +L'idée est de se ramener au théorème \ref{degree-identity} dont +celui-ci est une généralisation. + +Soit $x \in K := k(C)$ dont le seul zéro est en la place $P$ : un tel +élément existe car $\ell(n\cdot(P)) > 0$ pour $n$ suffisamment grand +d'après \ref{degree-of-canonical-divisor}(B), si bien qu'il existe une +fonction n'ayant aucun pôle ailleurs qu'en $P$, et en l'inversant on +obtient une fonction n'ayant aucun zéro ailleurs qu'en $P$. Disons +$\ord_P(x) =: r$. + +Les zéros de $\varphi^*(x)$ sont exactement les places de $C'$ dont +l'image par $\varphi$ est $P$ (puisque $\ord_Q(\varphi^*(x)) = +e_{\varphi,Q} \, \ord_{\varphi(Q)}(x)$ est strictement positif si et +seulement si $\ord_{\varphi(Q)}(x)$ l'est, ce qui signifie bien que +$x$ a un zéro en $\varphi(Q)$, autrement dit que $\varphi(Q) = P$ +puisque $x$ n'a de zéro qu'en $P$). + +Le théorème \ref{degree-identity} donne $\sum_{i=1}^n +\ord_{Q_i}(\varphi^*(x))\,\deg(Q_i) = \deg(\varphi^*(x))$. Mais comme +on l'a expliqué +en \ref{summary-ramification-index-and-residual-degree}, on a d'une +part $\ord_{Q_i}(\varphi^*(x)) = e_i r$, d'autre part $\deg(Q_i) = f_i +\deg(P)$, et enfin $\deg(\varphi^*(x)) = \deg(\varphi)\,\deg(x)$. +Bref, $\sum_{i=1}^n e_i f_i r\deg(P) = \deg(\varphi)\,\deg(x)$. Comme +on a aussi $r\deg(P) = \deg(x)$ par une nouvelle application +de \ref{degree-identity}, on en déduit la formule annoncée. +\end{proof} + + % % -- cgit v1.2.3