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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 10 Apr 2016 18:34:00 +0200
Subject: Coverings of curves (very basic facts).

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@@ -3498,7 +3498,7 @@ y)$).
 
 (Si $n$ est multiple de la caractéristique, l'extension $k(y^n)
 \subseteq k(y)$ ne sera pas séparable, mais ça n'empêche pas $k(y)$
-d'être un corps de fonction d'une courbe tout à fait sympathique.)
+d'être un corps de fonctions d'une courbe tout à fait sympathique.)
 
 En caractéristique $p>0$, un autre exemple important est celui de la
 courbe d'équation $x = y^p - y$ : de nouveau, $k(x)[y]/(x-y^p+y)$ est
@@ -4253,7 +4253,8 @@ si $\varkappa_v = k$, la place $v$ est dite \defin[rationnelle
   (place)]{rationnelle}.  C'est notamment le cas si $k$ est
 \emph{algébriquement clos}.
 
-\thingy Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si
+\thingy\label{evaluation-of-a-function-at-a-place}
+Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si
 $f\in K$ et si $v \in \mathscr{V}_K$ (i.e., $v$ est une place de $K$),
 on peut définir $f(v) \in \varkappa_v$ (l'\defin{évaluation} de $f$ en
 la place $v$) comme valant :
@@ -4814,7 +4815,7 @@ ainsi le degré d'une fraction rationnelle.
 En s'inspirant de ces cas particuliers, on fait la définition générale
 suivante :
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{degree-of-a-function}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ et soit $h\in K$ :
 alors on pose $\deg(h) = [K : k(h)]$ si $h$ est non constant, et
 $\deg(h) = 0$ si $h$ est constante (\defin[degré (d'une fonction sur
@@ -4835,7 +4836,7 @@ est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur.
 \subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves}
 
 \begin{defn}
-Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$.  Un
+Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$.  Un
 \defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire
 formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit,
 le groupe $\Divis(C)$ des diviseurs est défini comme le groupe abélien
@@ -4856,7 +4857,7 @@ positifs.  On note $D \geq 0$ pour cette affirmation.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, et si $f \in
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et si $f \in
 K$ est non nulle, on appelle respectivement \textbf{diviseur des
   zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal
   (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les
@@ -4899,7 +4900,7 @@ définition exactement la valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$).  On
 évitera d'abuser de cette terminologie.
 
 \begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, on appelle
 \defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} un diviseur sur $C$
 (forcément de degré zéro, comme on l'a vu) de la forme $\divis(f) :=
 \sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non
@@ -4948,7 +4949,7 @@ par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$.
 \subsection{Espaces de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch-spaces}
 
 \begin{defn}
-Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D =
+Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, et soit $D =
 \sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un
 entier $n_P$ pour chaque place de $P$, tous nuls sauf un nombre fini).
 On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch}
@@ -5182,7 +5183,7 @@ alors ils sont une base de transcendance séparante.
 \cite[lemme 2.8.3]{FriedJarden2008}
 \end{proof}
 
-\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonction de
+\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de
 courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors
 \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$},
@@ -5225,7 +5226,7 @@ elle l'est moins en caractéristique positive, surtout si $k$ n'est pas
 parfait.  On va essayer de l'éclaircir :
 
 \begin{prop}\label{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve}
-Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in
 \mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_P$ l'anneau de
 valuation correspondant\footnote{Voir
@@ -5249,7 +5250,7 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in
 \end{proof}
 
 \begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une
 place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in
 \Omega^1_{K/k}$, on appelle $\ord_P(\omega)$ l'entier $i$ de la
@@ -5283,7 +5284,7 @@ pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes
 (notamment si $k$ est parfait).
 
 \begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}
-Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in
 \mathscr{V}_{K/k}$ une place \emph{elle-même séparable}, c'est-à-dire
 que son corps résiduel $\varkappa_P$ est une extension séparable
@@ -5314,7 +5315,7 @@ signalé.
 \end{proof}
 
 \begin{prop}\label{order-of-derivatives}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $P \in
 \mathscr{V}_{K/k}$ une place elle-même séparable (i.e., $\varkappa_P$
 séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a :
@@ -5345,7 +5346,7 @@ utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)).
 \end{proof}
 
 \begin{prop}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et soit
 $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ non nulle.  Alors l'ensemble des places
 $P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini.
@@ -5356,7 +5357,7 @@ $P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini.
 \end{proof}
 
 \begin{defn}
-Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable
+Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, séparable
 (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et si $\omega
 \in \Omega^1_{K/k}$ est non nulle, on appelle \defin[canonique
   (diviseur)]{diviseur canonique} associé à la différentielle $\omega$
@@ -5485,6 +5486,196 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée.
 \end{proof}
 
 
+\subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings}
+
+\thingy Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et
+$K \subseteq L$ une extension \emph{finie}.  Alors $L$ est lui-même un
+corps de fonctions de courbe sur $k$ (le degré de transcendance sur $k$
+est toujours $1$ car $K \subseteq L$ est algébrique ; et $L$ est de
+type fini sur $k$ car de type fini sur $K$ qui est lui-même de type
+fini sur $k$).  Appelons $C'$ la courbe correspondante.  On dit dans
+ces conditions qu'on a affaire à un \defin[revêtement de
+  courbes]{revêtement} de courbes sur $k$, noté symboliquement
+$C'\to C$ (on va voir prochainement comment associer une place de $C$
+à une place de $C'$).  Le \defin[degré (d'un revêtement)]{degré}
+du revêtement est défini comme le degré $[L:K]$ de l'extension.
+
+Plus exactement, un revêtement $\varphi\colon C' \to C$ de courbes est
+défini comme un morphisme $\varphi^*\colon k(C) \to k(C')$ d'anneaux,
+c'est-à-dire un plongement du corps $k(C)$ des fonctions de $C$ dans
+le corps $k(C')$ des fonctions de $C'$ (on note $\varphi^*$ le
+morphisme d'anneaux pour le distinguer du revêtement lui-même), qui
+fait de $k(C')$ une extension \emph{finie} de $k(C)$.  Le degré du
+revêtement est $\deg\varphi = [k(C') : k(C)]$.
+
+Par exemple, n'importe quel élément non constant $x \in K$ définit un
+revêtement $C \to \mathbb{P}^1$ donné par l'extension $k(x) \subseteq
+K$ (qui est finie car algébrique de type fini), qu'on aura tendance à
+identifier à $x$, et dont le degré a déjà été noté $\deg(x)$
+(cf. \ref{degree-of-a-function}).
+
+\thingy Si $\varphi\colon C'\to C$ est un revêtement de courbes
+sur $k$, et si $w$ est une place de $C'$ (c'est-à-dire une valuation
+non-triviale sur $L := k(C')$), on peut considérer la restriction
+$w|_K = w\circ\varphi^*$ de $w$ à $K := k(C)$.  Il est évident qu'elle
+satisfait les conditions (o), (i) et (ii)
+de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (puisqu'elle les
+satisfait déjà sur $L$) : elle définit donc une valuation sur $K$,
+mais on prendra garde au fait que cette valuation n'est pas forcément
+surjective — on pourrait même imaginer \textit{a priori} qu'elle soit
+triviale.
+
+En fait, $w|_K$ n'est pas triviale, car si $y \in L$ est tel que $w(y)
+= -1$, en considérant l'équation minimale $y^n + c_1 y^{n-1} + \cdots
++ c_n = 0$ de $y$ sur $K$, avec $c_i \in K$, il n'est pas possible
+d'avoir $w(c_i) = 0$ pour chaque $i$ sinon la somme ne s'annulerait
+pas (puisque la valuation du terme $y^n$ serait strictement inférieure
+aux autres, cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}).
+
+Le groupe des valeurs $w(K^\times)$ est donc un sous-groupe non
+trivial de $w(L^\times) = \mathbb{Z}$, qu'on peut noter $e\mathbb{Z}$,
+où $e \geq 1$ est la plus petite valeur strictement positive possible
+de $w$ sur un élément de $K$.  On définit alors une valuation discrète
+$v$ sur $C$ par $v(x) = \frac{1}{e}\,w(x)$ (de manière à ce que $v$
+prenne les valeurs $\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ et pas seulement les
+multiples de $e$).  Cette place $v$ est appelée l'\defin[image d'une
+  place par un revêtement]{image} de $w$ par le revêtement $\varphi$,
+et notée $\varphi(w)$.  L'entier $e$ est, pour sa part, appelé
+l'\defin{indice de ramification} de $\varphi$ en la place $w$.
+
+Enfin, le degré $[\varkappa_w : \varkappa_v]$ de l'extension des corps
+résiduels (définie par le fait que pour $x\in K$ on a $v(x) \geq 0$
+ssi $w(x) \geq 0$ et $v(x) > 0$ ssi $v(x) > 0$, si bien que tout
+élément de $\varkappa_v = \{x \in K : v(x)\geq 0\} / \{x \in K :
+v(x)>0\}$ peut se voir comme un élément de $\varkappa_w = \{x \in L :
+w(x)\geq 0\} / \{x \in L : w(x)>0\}$) est appelé le \defin{degré
+  résiduel} de $\varphi$ en la place $w$.
+
+\thingy\label{summary-ramification-index-and-residual-degree}
+On retiendra la définition de l'indice de ramification sous la
+forme suivante : si $\varphi\colon C'\to C$ est un revêtement de
+courbes, alors pour tout $f \in k(C)$ et toute place $Q$ de $C'$, on a
+\[
+\ord_Q(\varphi^*(f)) = e_{\varphi,Q}\,\ord_{\varphi(Q)}(f)
+\]
+où $\varphi(Q)$ est la place image de $Q$ par $f$ et où
+$e_{\varphi,Q}$ est l'indice de ramification de $\varphi$ en $Q$
+(défini par cette égalité).
+
+Quant au degré résiduel, on peut utiliser la composition des degrés
+$\deg(Q) = [\varkappa_{Q} : k] = [\varkappa_{Q} : \varkappa_P] \cdot
+[\varkappa_P : k] = f \deg(P)$ (avec $P := \varphi(Q)$) pour
+l'exprimer dans la formule analogue
+\[
+\deg(Q) = f_{\varphi,Q}\,\deg(\varphi(Q))
+\]
+
+Par ailleurs, il est utile de noter que si $x \in k(C)$ est non
+constant, en se rappelant qu'on a noté $\deg(x) := [k(C) : k(x)]$, on
+a $[k(C') : k(x)] = [k(C') : k(C)] \cdot [k(C) : k(x)]$, c'est-à-dire
+\[
+\deg(\varphi^*(x)) = \deg(\varphi)\,\deg(x)
+\]
+
+\begin{prop}
+Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, et $f \in K$
+un élément non constant identifié au revêtement $C \to \mathbb{P}^1_k$
+donné par l'extension $k(f) \subseteq K$.  Alors pour toute place $P$
+de $C$, la place image $f(P)$ de $\mathbb{P}^1$ définie ci-dessus (par
+restriction de $w := \ord_P$ à $k(f)$) coïncide bien avec ce qu'on a
+appelé évaluation de $f$ en $P$
+en \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place} (quitte à identifier un
+élément de $\varkappa_P$ à la place de $\mathbb{P}^1$ définie par son
+polynôme minimal sur $k$, cf. \ref{places-of-the-projective-line}).
+De plus, l'indice de ramification de $f$ en $P$ vaut :
+\begin{itemize}
+\item l'ordre $\ord_P(f)$ du zéro de $f$ en $P$ si $f(P) = 0$ (i.e.,
+  $\ord_P(f) > 0$),
+\item l'ordre $-\ord_P(f)$ du pole de $f$ en $P$ si $f(P) = \infty$
+  (i.e., $\ord_P(f) < 0$).
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $w = \ord_P$ la valuation correspondant à la place $P$.  Pour $g$
+une fraction rationnelle en une indéterminée $t$, on considère
+$w|_{k(t)}(g) = \ord_P(g\circ f)$ (on identifie $k(t)$ à $k(f)
+\subseteq K$ par la composition à droite par $f$ puisque $f$ est
+transcendant, cf. \ref{monogeneous-extensions-dichotomy}) : le but est
+de comprendre la valuation ainsi définie (après division par un entier
+à déterminer).
+
+Tout d'abord, dans le cas où $\ord_P(f) < 0$, on a $\ord_P(g\circ f) =
+\deg(g)\,\ord_P(f)$ si $g \in k[t]$ comme on le calcule facilement en
+écrivant explicitement $g$ et en utilisant
+\ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (i) et (ii.b), et par
+conséquent (cf. \ref{valuations-on-integral-domains}), on a
+$w|_{k(t)}(g) = -v_\infty(g)\,\ord_P(f)$ quel que soit $g\in k(t)$.
+Ceci montre bien que la place image est $\infty$ et que l'indice de
+ramification est $-\ord_P(f)$.
+
+Le cas où $\ord_P(f) > 0$ s'en déduit par composition de $g$
+par $\frac{1}{t}$ (avant de composer par $f$) : dans ce cas, on a
+$w|_{k(t)}(g) = v_0(g)\,\ord_P(f)$ quel que soit $g\in k(t)$,
+c'est-à-dire que la place image est $0$ et que l'indice de
+ramification est $\ord_P(f)$.
+
+Dans le cas où $\ord_P(f) = 0$, soit comme d'habitude $\mathcal{O}_P =
+\{x \in K : \ord_P(x) \geq 0\}$ l'anneau de valuation en $P$, et
+$\mathfrak{m}_P = \{x \in K : \ord_P(x) > 0\}$ son idéal maximal et
+$\varkappa_P = \mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P$ le corps résiduel, et
+soit $h \in k[t]$ le polynôme minimal sur $k$ de la classe $\bar f$ de
+$f$ modulo $\mathfrak{m}_P$ (i.e., de ce qu'on a appelé évaluation de
+$f$ en $P$ en \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}).  Le fait que
+$h(\bar f) = 0 \in \varkappa_P$ signifie exactement $h\circ f \in
+\mathfrak{m}_P$, c'est-à-dire $\ord_P(h\circ f) > 0$, autrement dit
+$w|_{k(t)}(h) > 0$.  Comme $h$ est unitaire irréductible sur $k$, il y
+a (cf. \ref{places-of-the-projective-line}) une unique valuation $v$
+sur $k(t)$ au-dessus de $k$ donnant la valeur $1$ à $h$ : on en déduit
+que $w|_{k(t)}(g) = e\, v(g)$ où $e = \ord_P(h\circ f)$.  et on a bien
+montré comme annoncé que la place $v$ image de $w = \ord_P$ par $f$
+est celle associée au polynôme minimal $h$ de $\bar f = f(P)$.
+\end{proof}
+
+\begin{thm}
+Soit $\varphi\colon C'\to C$ un revêtement de courbes sur $k$, soit
+$P$ une place quelconque de $C$ et $Q_1,\ldots,Q_n$ les places de $C'$
+dont l'image par $\varphi$ est $P$.  Notons $e_i$ l'indice ce
+ramification de $\varphi$ en $Q_i$ et $f_i = [\varkappa_{Q_i} :
+  \varkappa_P]$ le degré résiduel.  Alors on a
+\[
+\sum_{i=1}^n e_i\,f_i = \deg(\varphi)
+\]
+\end{thm}
+\begin{proof}
+L'idée est de se ramener au théorème \ref{degree-identity} dont
+celui-ci est une généralisation.
+
+Soit $x \in K := k(C)$ dont le seul zéro est en la place $P$ : un tel
+élément existe car $\ell(n\cdot(P)) > 0$ pour $n$ suffisamment grand
+d'après \ref{degree-of-canonical-divisor}(B), si bien qu'il existe une
+fonction n'ayant aucun pôle ailleurs qu'en $P$, et en l'inversant on
+obtient une fonction n'ayant aucun zéro ailleurs qu'en $P$.  Disons
+$\ord_P(x) =: r$.
+
+Les zéros de $\varphi^*(x)$ sont exactement les places de $C'$ dont
+l'image par $\varphi$ est $P$ (puisque $\ord_Q(\varphi^*(x)) =
+e_{\varphi,Q} \, \ord_{\varphi(Q)}(x)$ est strictement positif si et
+seulement si $\ord_{\varphi(Q)}(x)$ l'est, ce qui signifie bien que
+$x$ a un zéro en $\varphi(Q)$, autrement dit que $\varphi(Q) = P$
+puisque $x$ n'a de zéro qu'en $P$).
+
+Le théorème \ref{degree-identity} donne $\sum_{i=1}^n
+\ord_{Q_i}(\varphi^*(x))\,\deg(Q_i) = \deg(\varphi^*(x))$.  Mais comme
+on l'a expliqué
+en \ref{summary-ramification-index-and-residual-degree}, on a d'une
+part $\ord_{Q_i}(\varphi^*(x)) = e_i r$, d'autre part $\deg(Q_i) = f_i
+\deg(P)$, et enfin $\deg(\varphi^*(x)) = \deg(\varphi)\,\deg(x)$.
+Bref, $\sum_{i=1}^n e_i f_i r\deg(P) = \deg(\varphi)\,\deg(x)$.  Comme
+on a aussi $r\deg(P) = \deg(x)$ par une nouvelle application
+de \ref{degree-identity}, on en déduit la formule annoncée.
+\end{proof}
+
+
 
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cgit v1.2.3

