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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\date{21 avril 2016}
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\noindent\textbf{Consignes.}

Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire
est précisé.  Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
où commence chaque exercice.

Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des calculatrices électroniques est interdit.

Durée : 3h

\pagebreak


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\exercice

Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}.  On considère
$f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes}
de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées
$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de
degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses
monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$).  Le but de
l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un
zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à
$f_1,\ldots,f_m$.  On suppose donc par l'absurde que l'ensemble
$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à
$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$.

(1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de
degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$
engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$.  On pourra
pour cela observer que chaque $t_i$ s'annule sur $Z(f_1,\ldots,f_m)$
et chercher à en conclure qu'une puissance de $t_i$ appartient à $I$.

\begin{corrige}
L'hypothèse faite est que le fermé de Zariski $Z(I)$ défini par
$f_1=\ldots=f_m=0$ est le même que celui défini par
$t_1=\ldots=t_n=0$, notamment, chaque $t_i$ s'annule sur $Z(I)$ (soit
$t_i \in \mathfrak{I}(Z(I))$).  Le Nullstellensatz fort
(\ref{strong-nullstellensatz}) permet de conclure que pour chaque $i$
il existe $r_i$ tel que $t_i^{r_i}$ appartienne à l'idéal $I$ engendré
par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$.  Si on appelle $r$ la
somme des $r_i$ alors tout monôme de degré total au moins $r$ comporte
nécessairement un facteur $t_i^{r_i}$ pour un certain $i$, et
appartient donc à $I$.
\end{corrige}

\smallbreak

(2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en
$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m
f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg
q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$).  On pourra
pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total.

\begin{corrige}
La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total
$\geq r$ en les $t_i$ il existe $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$
tels que $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$.  Observons à présent qu'en
remplaçant $h_j$ par sa composante homogène de degré total $\deg q -
d_j$, c'est-à-dire la somme des monômes ayant ce degré total (ou zéro
si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et
que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total
$\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en
effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans
cette égalité).
\end{corrige}

\smallbreak

Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de
$k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$.

(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$
de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de
degré total $< \deg q$.  En déduire la même conclusion avec maintenant
des monômes chacun de degré $< r$.

\begin{corrige}
En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total
$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue
en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme
$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de
degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui.

En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq
r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit
qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand
degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire
décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à
$r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes
chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée.
\end{corrige}

\smallbreak

Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à
l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension
$k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée
par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$.

(4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de
$k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des
combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un
$K$-espace vectoriel de dimension finie.  Conclure que
$K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec
$k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel
de dimension finie.

\begin{corrige}
On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme
combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison
dans $K$, des monômes de degré $<r$.  Comme il n'y a qu'un nombre fini
de monômes de degré $<r$, le $K$-espace vectoriel $K[t_1,\ldots,t_n]$
engendré (dans $k(t_1,\ldots,t_n)$) par tous les monômes en les $t_i$
est de dimension finie.

Or $K[t_1,\ldots,t_n]$ est également un anneau intègre (puisque c'est
un sous-anneau du corps $k(t_1,\ldots,t_n)$) : et un anneau intègre de
dimension finie sur un corps est lui-même un corps
(\ref{finite-integral-algebra-is-a-field}).  Donc $K[t_1,\ldots,t_n]$
est un corps, et comme il contient $k$ et $t_1,\ldots,t_n$, et est
contenu dans $k(t_1,\ldots,t_n)$, il coïncide avec ce dernier.

On a donc prouvé que $K[t_1,\ldots,t_n] = k(t_1,\ldots,t_n)$ est un
$K$-espace vectoriel de dimension finie.
\end{corrige}

\smallbreak

(5) En raisonnant sur le degré de transcendance, conclure que $n \leq m$.

\begin{corrige}
L'extension de corps $K \subseteq k(t_1,\ldots,t_n)$ étant finie, elle
est algébrique.  On peut alors extraire de $f_1,\ldots,f_m$ une base
de transcendance sur $k$ de $K = k(f_1,\ldots,f_m)$
(\ref{transcendence-basis-facts}(1b)), et puisque $k(t_1,\ldots,t_n)$
est algébrique sur $K$, la base de transcendance trouvée est encore
une base de transcendance sur $k$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$, bref
$\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) \leq m$.  Or manifestement
$t_1,\ldots,t_n$ est une base de transcendance de $k(t_1,\ldots,t_n)$
donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$.  On a bien prouvé $n
\leq m$.
\end{corrige}



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\end{document}
