%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{xr-hyper} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % \externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{21 avril 2016} \maketitle %% {\footnotesize %% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} %% \begin{center} %% Git: \input{vcline.tex} %% \end{center} %% \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} %% \par} \pretolerance=8000 \tolerance=50000 \vskip1truein\relax \noindent\textbf{Consignes.} Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des calculatrices électroniques est interdit. Durée : 3h \pagebreak % % % \exercice Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à $f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$. (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. On pourra pour cela observer que chaque $t_i$ s'annule sur $Z(f_1,\ldots,f_m)$ et chercher à en conclure qu'une puissance de $t_i$ appartient à $I$. \begin{corrige} L'hypothèse faite est que le fermé de Zariski $Z(I)$ défini par $f_1=\ldots=f_m=0$ est le même que celui défini par $t_1=\ldots=t_n=0$, notamment, chaque $t_i$ s'annule sur $Z(I)$ (soit $t_i \in \mathfrak{I}(Z(I))$). Le Nullstellensatz fort (\ref{strong-nullstellensatz}) permet de conclure que pour chaque $i$ il existe $r_i$ tel que $t_i^{r_i}$ appartienne à l'idéal $I$ engendré par $f_1,\ldots,f_m$ dans $k[t_1,\ldots,t_n]$. Si on appelle $r$ la somme des $r_i$ alors tout monôme de degré total au moins $r$ comporte nécessairement un facteur $t_i^{r_i}$ pour un certain $i$, et appartient donc à $I$. \end{corrige} \smallbreak (2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total. \begin{corrige} La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en les $t_i$ il existe $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ tels que $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$. Observons à présent qu'en remplaçant $h_j$ par sa composante homogène de degré total $\deg q - d_j$, c'est-à-dire la somme des monômes ayant ce degré total (ou zéro si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total $\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans cette égalité). \end{corrige} \smallbreak Soit $A := k[f_1,\ldots,f_m]$ la sous-$k$-algèbre de $k[t_1,\ldots,t_n]$ engendrée par les éléments $f_1,\ldots,f_m$. (3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme combinaison $A$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$. \begin{corrige} En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme $q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $A$-linéaire décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on finit par arriver à une combinaison $A$-linéaire de monômes chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. \end{corrige} \smallbreak Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau intègre $A$ (vu à l'intérieur de $k(t_1,\ldots,t_n)$), c'est-à-dire la sous-extension $k(f_1,\ldots,f_m)$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. (4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Conclure que $K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec $k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. \begin{corrige} On vient de voir que tout monôme en les $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients dans $A$, donc à plus forte raison dans $K$, des monômes de degré $