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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\date{21 avril 2017}
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\noindent\textbf{Consignes.}

Ce contrôle est formé d'un unique exercice.  Les questions dépendent
les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que
le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute
la suite.

Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est
conseillé de le lire attentivement.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 1h30

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\pagebreak


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Dans tout ce qui suit $k$, désigne un corps algébriquement clos de
caractéristique $\not\in\{2,5\}$.

On s'intéresse à la courbe plane d'équation $y^2 = x^5 - x$.  Plus
exactement, on pose $K = k(x)[y]/(y^2 - x^5 + x)$.  On admettra sans
démonstration que $h := y^2 - x^5 + x$ est irréductible dans $k[x,y]$,
ce qui implique que $K$, corps de rupture de $h$ sur $k(x)$, est un
corps de fonction de courbe.  On notera abusivement $x$ et $y$ les
images dans $K$ des indéterminées de même nom.  On appelle $C$ la
courbe associée à $K$, qu'on peut considérer comme son ensemble de
places (=valuations discrètes de $K$ au-dessus de $k$).  Pour $P$ une
place de $C$, on note $\ord_P$ la valuation en question.  On rappelle
que comme $k$ est supposé algébriquement clos, le degré de toute place
vaut $1$ (et son corps résiduel $\varkappa_P$ s'identifie à $k$).

\medbreak

(1) Rappeler brièvement pourquoi un élément de $K$ admet une écriture
unique sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$.

\begin{corrige}
On a $K = k(x)[y]/(h)$ où $h \in k(x)[y]$ est irréductible de
degré $2$ (vu comme un polynôme en $y$) : tout élément de $k(x)[y]$
est donc congru modulo $h$ à un unique polynôme (en $y$) de
degré $<2$, à savoir le reste de sa division euclidienne par $h$, donc
il s'écrit $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$ ce qui est
précisément ce qui était demandé.
\end{corrige}

\medbreak

(2) Le but de cette question est d'étudier la place « à l'infini »
de $C$.

(2.1) Soit $P$ une place telle que $\ord_P(x) < 0$ (autrement dit, $x$
a un pôle en $P$).  Posons $e = -\ord_P(x)$.  (a) Que vaut
$\ord_P(x^n)$ pour $n\in\mathbb{N}$ ?  Que vaut $\ord_P(f(x))$ pour $f
\in k[x]$ un polynôme en $x$ ?  (b) En déduire que si $f \in k(x)$
alors $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$ où $\ord_\infty$ désigne la
valuation usuelle à l'infini\footnote{C'est-à-dire la fonction qui à
  $f\in k(x)$ associe le degré de son dénominateur moins celui de son
  numérateur.}  de $k(x)$.  (c) Montrer que $\ord_P(y) =
-\frac{5}{2}e$.  (d) En déduire ce que vaut $\ord_P(f_0 + f_1 y)$.
(e) En déduire que $e=2$, et réexprimer $\ord_P(f_0 + f_1 y)$ compte
tenu de cette information.

\begin{corrige}
(a) Si on a $\ord_P(x) = -e < 0$ alors $\ord_P(x^n) = -ne$.  On en
  déduit que $\ord_P(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = -ne$ si
  $a_n\neq 0$, parce que le terme $a_n x^n$ a une valuation
  strictement inférieure à tous les autres, c'est-à-dire $\ord_P(f(x))
  = -e\,\deg f$.  (b) En écrivant $f$ comme rapport de deux polynômes,
  on en déduit immédiatement $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$.
  (c) On a $y^2 = x^5 - x$ donc $\ord_P(y^2) = -5e$, c'est-à-dire
  $\ord_P(y) = -\frac{5}{2}e$.  (d) On en déduit que $\ord_P(f_0 + f_1
  y) = e \min(\ord_\infty(f_0), \ord_\infty(f_1)-\frac{5}{2})$ (car
  les deux termes ne peuvent pas avoir la même valuation).  (e) Comme
  la valeur $1$ doit être atteinte par $\ord_P$, on a nécessairement
  $e=2$, donc $\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0),
  2\ord_\infty(f_1)-5)$.
\end{corrige}

\smallbreak

(2.2) Montrer que réciproquement, $\ord_P(y) < 0$ implique $\ord_P(x)
< 0$ (on pourra procéder par contraposée).

\begin{corrige}
Si $\ord_P(x) \geq 0$ alors $\ord_P(x^5 - x) \geq 0$ (on rappelle que
$\mathcal{O}_P := \{f\in K : \ord_P(f)\geq 0\}$ est un anneau),
c'est-à-dire $\ord_P(y^2) \geq 0$ donc $\ord_P(y) \geq 0$ : on a donc
montré la contraposée de ce qui était demandé.
\end{corrige}

\smallbreak

(2.3) Déduire des questions précédentes que la courbe $C$ a une unique
place $P$ telle que $\ord_P(x) < 0$, qui est aussi l'unique place $P$
telle que $\ord_P(y) < 0$.

\begin{corrige}
On a vu que $\ord_P(x) < 0$ équivaut à $\ord_P(y) < 0$ et implique
$\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0), 2\ord_\infty(f_1)-5)$,
ce qui détermine complètement $\ord_P$.  Par ailleurs, une telle place
existe bien car la fonction $x$, qui n'est pas constante, doit avoir
un pôle quelque part sur $C$.
\end{corrige}

\smallbreak

\emph{Cette place sera appelée « place à l'infini » sur $C$ et
  notée $\heartsuit$ dans ce qui suit.}

\smallbreak

(2.4) Montrer que le diviseur des pôles\footnote{On rappelle que le
  diviseur des pôles de $f\in K$ est défini comme
  $\sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\cdot (P)$.} de $x$
vaut $2\cdot(\heartsuit)$.  Quel est le diviseur des pôles de $y$ ?
Quel sont les degrés de $x$ et $y$ en tant que fonctions sur $C$
(c'est-à-dire, les degrés $[K:k(x)]$ et $[K:k(y)]$) ?

\begin{corrige}
On vient de voir que $x$ n'a de pôle qu'en $\heartsuit$, et
$\ord_\heartsuit(x) = -2$ : ceci signifie exactement que son diviseur
des pôles est $2\cdot(\heartsuit)$.  On a de même vu que $y$ n'a de
pôle qu'en $\heartsuit$, et $\ord_\heartsuit(y) = -5$ : ceci signifie
exactement que son diviseur des pôles est $5\cdot(\heartsuit)$.  Les
degrés de $x$ et $y$ valent respectivement $2$ et $5$, comme il
résulte du degré des diviseurs qu'on vient de dire, ou directement en
considérant que $K$ est une extension de $k(x)$ et de $k(y)$
respectivement qui est le corps de rupture de $h$.
\end{corrige}

\medbreak

(3) (a) Montrer que le polynôme $x^5 - x$ (en une variable $x$) est
sans racine multiple.  (b) En déduire que les polynômes $h$ et
$\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial h}{\partial y}$ en
deux variables $x,y$ (où toujours $h = y^2 - x^5 + x$) ne s'annulent
jamais tous les trois simultanément.

\begin{corrige}
(a) Les racines de $x^5 - x = x(x^4 - 1)$ sont $0$ et les racines
  quatrièmes de l'unité dans $k$ : il y a bien cinq racines
  distinctes, donc pas de racine multiple.  (b) On a $\frac{\partial
    h}{\partial y} = 2 y$, qui s'annule exactement lorsque $y=0$.  Si
  $h$ et $\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial
    h}{\partial y}$ s'annulent simultanément en $(x_0,y_0)$, alors
  $y_0 = 0$ et $x_0$ annule à la fois $x^5 - x$ et sa dérivée, or on
  vient de voir que ce n'est pas possible.
\end{corrige}

\medbreak

On rappelle (\ref{smooth-points-give-unique-place} du cours) que ceci
implique le fait suivant : pour tout $(x_0,y_0) \in k^2$ vérifiant
$y_0^2 = x_0^5 - x_0$ (i.e., tout $(x_0,y_0) \in Z(h)$), il existe une
unique place $P$ de $C$ en laquelle l'évaluation de $x$ vaut $x_0$ et
l'évaluation de $y$ vaut $y_0$ (si on préfère, $\ord_P(x-x_0) > 0$ et
$\ord_P(y-y_0) > 0$).  \emph{Cette place sera notée $Q(x_0,y_0)$ dans
  la suite.}

\medbreak

(4) Dans cette question, on considère un $c\in k$, et on va se pencher
sur les places de $C$ en lesquelles l'évaluation de $x$ vaut $c$.

(4.1) Pourquoi le degré de $x-c$ en tant que fonction sur $C$
vaut-il $2$ ?

\begin{corrige}
Le corps $k(x-c)$ engendré par $x-c$ au-dessus de $k$ est égal à celui
$k(x)$ engendré par $x$, puisque chacun de $x$ et de $x-c$ s'exprime
rationnellement en fonction de l'autre (à savoir $x = (x-c) + c$ et
$(x-c) = (x) - c$).  Le degré de $K$ sur ce corps est donc le même
dans les deux cas, à savoir $2$ comme on l'a vu en (2.4).
\end{corrige}

\smallbreak

(4.2) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c \neq 0$.
(a) Expliciter deux places $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro
(c'est-à-dire $\ord_P(x-c) > 0$).  (b) En déduire que ces deux zéros
sont simples (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 1$) : on pourra pour cela
invoquer l'identité du degré (\ref{degree-identity} du cours).

\begin{corrige}
(a) Soit $y_0$ une racine carrée de $c^5 - c$ (non nulle par
  hypothèse).  Alors $y_0^2 = c^5 - c$, ce qui permet de parler de
  $Q(c,y_0)$, et symétriquement de $Q(c,-y_0)$.  Ces deux places sont
  bien distinctes car $y$ y a une évaluation différente.  La fonction
  $x-c$ a un zéro en ces deux places puisque $x$ s'y évalue en $c$.
  (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit valoir $2$ d'après
  (4.1) et l'identité du degré ; or on a trouvé deux zéros, il
  s'ensuit qu'ils sont forcément simples.
\end{corrige}

\smallbreak

(4.3) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c = 0$.
(a) Expliciter la seule place $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro.  (b) En
déduire que ce zéro est double (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 2$).

\begin{corrige}
(a) Le fait que $c^5 - c = 0$ permet de parler de la place $Q(c,0)$.
  La fonction $x-c$ y a un zéro.  Mais si $x-c$ a un zéro en une place
  de $C$, forcément $y$ y a aussi un zéro puisque l'évaluation de $y^2
  = x^5 - x$ vaut $c^5 - c = 0$ : la place évoquée est donc la seule
  où $x-c$ a un zéro.  (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit
  valoir $2$ d'après (4.1) et l'identité du degré ; or on a vu qu'il y
  en a exactement une, donc son zéro est double.
\end{corrige}

\medbreak

(5) On s'intéresse dans cette question à la différentielle $dx$ de la
fonction $x$.

(5.1) Expliquer pourquoi $\ord_\heartsuit(dx) = -3$.

\begin{corrige}
On a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$.  Comme $k$ est de
caractéristique $\neq 2$, cette quantité n'est pas nulle dans $k$,
donc (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = -2-1
= -3$.
\end{corrige}

\smallbreak

(5.2) Montrer que $\ord_{Q(x_0,0)}(dx) = 1$ lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$.

\begin{corrige}
On a vu en (4.3) que lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$, on a
$\ord_{Q(x_0,0)}(x) = 2$.  Comme $k$ est de caractéristique $\neq 2$,
cette quantité n'est pas nulle dans $k$, donc
(cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = 2-1 = 1$.
\end{corrige}

\smallbreak

(5.3) (a) Rappeler pourquoi $d(x-c) = dx$ quel que soit $c\in k$.
(b) Que vaut $\ord_{Q(x_0,y_0)}(dx)$ lorsque $y_0 \neq 0$ (avec bien
sûr $y_0^2 = x_0^5 - x_0$) ?

\begin{corrige}
(a) On a $d(x-c) = dx - dc$, or $dc=0$.  (b) On a vu en (4.2) que
  lorsque $y_0 \neq 0$, on a $\ord_{Q(x_0,y_0)}(x - x_0) = 1$, donc
  (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(d(x-x_0)) =
  1-1 = 0$.  Mais on vient de voir que ceci signifie
  $\ord_\heartsuit(dx) = 0$.
\end{corrige}

\smallbreak

(5.4) (a) Récapituler la valeur de $\ord_P(dx)$ en toute place $P$
de $C$ (b) En déduire que le diviseur canonique $\divis(dx)$ est de
degré $2$.

\begin{corrige}
(a) Considérons une place $P$ de $C$.  Soit $x$ y a un pôle, auquel
  cas (cf. (2.3)) $P = \heartsuit$ et on a vu (cf. (5.1)) que
  $\ord_\heartsuit(dx) = -3$.  Soit $x$ n'a pas un pôle, et si $x_0
  \in k$ y est son évaluation, on a $P = Q(x_0,y_0)$ où $y_0$ est
  l'évaluation de $y$, et on a vu (cf. (5.2) et (5.3)) que
  $\ord_P(dx)$ vaut $1$ ou $0$ selon que $y_0 = 0$ ou $y_0 \neq 0$.
  Bref, les seules places où $\ord_P(dx) \neq 0$ sont $\heartsuit$ où
  l'ordre vaut $-3$, et les cinq points $(x_0,0)$ avec $x_0$ valant
  $0$ ou une racine quatrième de l'unité, où l'ordre vaut $1$.  (b) En
  particulier, le degré de $dx$ vaut $-3 + 5\times 1 = 2$.
\end{corrige}

\smallbreak

(5.5) Quel est le genre de la courbe $C$ ?

\begin{corrige}
D'après \ref{degree-of-canonical-divisor}, on sait que $g(C) =
\deg(\divis(dx))$, c'est-à-dire $2$ d'après la question (5.4(b)).
\end{corrige}





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\end{document}
