%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % %\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\norm}{\operatorname{N}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{11 avril 2018} \maketitle \pretolerance=8000 \tolerance=50000 \vskip1truein\relax \noindent\textbf{Consignes.} Ce contrôle est formé d'un unique exercice. Les questions dépendent les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute la suite. Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est conseillé de le lire attentivement. \medbreak L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des appareils électroniques est interdit. \medbreak Durée : 2h \vfill {\noindent\tiny \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} Git: \input{vcline.tex} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \pagebreak % % % Dans tout ce qui suit, $k$ désignera un corps de caractéristique différente de $2$ et $3$. On s'intéresse à la courbe $C$ d'équation $y^2 = x^3 - x$ dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$. \medskip (1) Dans le cas où $k$ est le corps $\mathbb{R}$ des réels, tracer l'allure de l'ensemble $C(\mathbb{R})$ des points réels de la courbe, c'est-à-dire, de l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $y^2 = x^3 - x$. On précisera ses intersections avec l'axe $y=0$. \centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} \medskip On identifie le plan affine $\mathbb{A}^2$ à l'ensemble $D_T := \{(T:X:Y) : T\neq 0\}$ des points $(T:X:Y)$ du plan projectif $\mathbb{P}^2$ tels que $T\neq 0$ de la façon habituelle, c'est-à-dire qu'on identifie $(T:X:Y)$ dans $D_T$ à $(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$ dans $\mathbb{A}^2$. (2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$, dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) « à l'infini » de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$. (2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») : quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de $\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C = \overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? (2c) Sur le corps des réels, représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines. Donner quelques exemples de points qui se correspondent sur chacun des dessins. \centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} \medskip On rappelle qu'un point $(x_0,y_0)$ d'une courbe plane $\{f(x,y) = 0\}$ (où $f\in k[x,y]$ est un polynôme en deux indéterminées $x,y$) est dit \emph{lisse} ou \emph{régulier} lorsque $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ne s'y annulent pas simultanément. (3a) Si $f := y^2 - x^3 + x$, montrer que l'idéal de $k[x,y]$ engendré par $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ est l'idéal unité (c'est-à-dire $k[x,y]$ tout entier). (3b) En déduire, ou bien montrer directement si l'on préfère, que la courbe $C$ est lisse, c'est-à-dire que tous ses points sont lisses (y compris les points sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$). (3c) Vérifier que le ou les point(s) à l'infini trouvés en (2a) sont eux aussi lisses (on pourra utiliser une des équations trouvées en (2b)). \centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} \medskip Considérons maintenant le polynôme $h := y^2 - (x^3 - x) \in k(x)[y]$ en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $x$. (4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un polynôme en $x$ (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$ n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h = y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K := k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un \emph{corps}. \leavevmode\hphantom{(4) }(e) Expliquer pourquoi tout élément de $K := k(x)[y]/(h)$ possède une représentation unique sous la forme $g_0 + g_1 y$ où $g_0$ et $g_1$ sont des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$ (et où on a noté abusivement $y$ pour la classe de $y$ modulo $h$). Expliquer comment on calcule les sommes et les produits dans $K$ sur cette écriture.\quad (f) Expliquer comment la connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh = 1 \in k(x)[y]$ permet de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 + g_1 y$ de $K$.\quad (g) À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$ dans $K$ (on pourra observer ce que vaut $y^2$ dans $K$). \centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} \medskip On appelle toujours $K := k(x)[y]/(y^2 - x^3 + x)$ (le corps des fonctions rationnelles sur $\overline{C}$). On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe $\overline{C}$ (qui soit lisse, mais on a vu en (3) que c'était bien le cas), il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to \mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : (o) $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad (k) $\ord_P(c) = 0$ si $c\in k$,\quad (i) $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) + \ord_P(g_2)$,\quad (ii) $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1), \ord_P(g_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1) \neq \ord_P(g_2)$),\quad (n) $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin \quad (r) $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$). On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_P$ lorsque $P$ est le point $(0,0)$ de la courbe. (5) (a) Vérifier que la restriction de $\ord_P$ à $k(x)$ (vu comme un sous-corps de $K$) vérifie encore les propriétés (o), (k), (i) et (ii) listées ci-dessus.\quad (b) En déduire que $\ord_P(g) = e\cdot v(g)$ pour tout $g\in k(x)$, où $v(g)$ désigne la valuation usuelle en $0$ d'une fraction rationnelle\footnote{C'est-à-dire l'ordre de son zéro en $0$, ou, si on préfère, l'exposant de la plus grande puissance de $x$ qui divise son numérateur moins l'exposant de la plus grande puissance de $x$ qui divise son dénominateur.} et où $e\geq 1$ est un entier qui reste encore à déterminer. \leavevmode\hphantom{(5) }(c) Calculer $\ord_P(y^2)$ et en déduire $\ord_P(y)$ (en faisant intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire $\ord_P(g_0 + g_1 y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant intervenir le noombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la propriété (n) (de normalisation de $\ord_P$), en déduire la valeur de $e$ et finalement la valeur de $\ord_P(g_0 + g_1 y)$. % % % \end{document}