%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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\begin{document}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\author{}
\date{11 avril 2018}
\maketitle

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\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Ce contrôle est formé d'un unique exercice.  Les questions dépendent
les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que
le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute
la suite.

Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est
conseillé de le lire attentivement.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

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Dans tout ce qui suit, $k$ désignera un corps de caractéristique
différente de $2$ et $3$.

On s'intéresse à la courbe $C$ d'équation $y^2 = x^3 - x$ dans le plan
affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$.

\medskip

(1) Dans le cas où $k$ est le corps $\mathbb{R}$ des réels, tracer
l'allure de l'ensemble $C(\mathbb{R})$ des points réels de la courbe,
c'est-à-dire, de l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $y^2
= x^3 - x$.  On précisera ses intersections avec l'axe $y=0$.

\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}

\medskip

On identifie le plan affine $\mathbb{A}^2$ à l'ensemble $D_T :=
\{(T:X:Y) : T\neq 0\}$ des points $(T:X:Y)$ du plan projectif
$\mathbb{P}^2$ tels que $T\neq 0$ de la façon habituelle, c'est-à-dire
qu'on identifie $(T:X:Y)$ dans $D_T$ à $(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$
dans $\mathbb{A}^2$.

(2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus
exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$,
dans $\mathbb{P}^2$ ?  Identifier le ou les point(s) à l'infini
de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$.

(2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont
aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») :
quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de
$\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C =
\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ?  Sur le corps des réels,
représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines.

\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}

\medskip

On rappelle qu'un point $(x_0,y_0)$ d'une courbe plane $\{f(x,y) =
0\}$ (où $f\in k[x,y]$ est un polynôme en deux indéterminées $x,y$)
est dit \emph{lisse} ou \emph{régulier} lorsque $\frac{\partial
  f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ne s'y annulent
pas simultanément.

(3a) Si $f := y^2 - x^3 + x$, montrer que l'idéal de $k[x,y]$ engendré
par $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial
  f}{\partial y}$ est l'idéal unité (c'est-à-dire $k[x,y]$ tout
entier).

(3b) En déduire, ou bien montrer directement si l'on préfère, que la
courbe $C$ est lisse, c'est-à-dire que tous ses points sont lisses (y
compris les points sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$).

(3c) Vérifier que le ou les point(s) à l'infini trouvés en (2a) sont
eux aussi lisses (on pourra utiliser une des équations trouvées
en (2b)).

\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}

\medskip

Considérons maintenant le polynôme $h := y^2 - (x^3 - x) \in k(x)[y]$
en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des
fractions rationnelles en une indéterminée $x$.

(4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un
polynôme (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$
n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h
= y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en
l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K :=
k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un
\emph{corps}.

\leavevmode\hphantom{(4) }(e) Expliquer pourquoi tout élément de $K :=
k(x)[y]/(h)$ possède une représentation unique sous la forme $g_0 +
g_1 y$ où $g_0$ et $g_1$ sont des fractions rationnelles en
l'indéterminée $x$ (et où on a noté abusivement $y$ pour la classe
de $y$ modulo $h$).  Expliquer comment on calcule les sommes et les
produits dans $K$ sur cette écriture.\quad (f) Expliquer comment la
connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh = 1 \in k(x)[y]$ permet
de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 + g_1 y$ de $K$.\quad
(g) À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$ dans $K$ (on pourra
observer ce que vaut $y^2$ dans $K$).

\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}

\medskip

On appelle toujours $K := k(x)[y]/(y^2 - x^3 + x)$ (le corps des
fonctions rationnelles sur $\overline{C}$).

On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe
$\overline{C}$ (qui soit lisse, mais on a vu en (3) que c'était bien
le cas), il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to
\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
(o) $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad (k) $\ord_P(c)
= 0$ si $c\in k$,\quad (i) $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) +
\ord_P(g_2)$,\quad (ii) $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1),
\ord_P(g_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1)
\neq \ord_P(g_2)$),\quad (n) $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin
\quad (r) $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec
automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$).

On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_P$ lorsque $P$ est
le point $(0,0)$ de la courbe.

(5) (a) Vérifier que la restriction de $\ord_P$ à $k(x)$ (vu comme un
sous-corps de $K$) vérifie encore les propriétés (o), (k), (i) et (ii)
listées ci-dessus.\quad (b) En déduire que $\ord_P(g) = e\cdot v(g)$
pour tout $g\in k(x)$, où $v(g)$ désigne la valuation usuelle en $0$
d'une fraction rationnelle\footnote{C'est-à-dire l'ordre de son zéro
  en $0$, ou, si on préfère, l'exposant de la plus grande puissance de
  $x$ qui divise son numérateur moins l'exposant de la plus grande
  puissance de $x$ qui divise son dénominateur.} et où $e\geq 1$ est
un entier qui reste encore à déterminer.

\leavevmode\hphantom{(5) }(c) Calculer $\ord_P(y^2)$ et en déduire
$\ord_P(y)$ (en faisant intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire
$\ord_P(g_0 + g_1 y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant
intervenir le noombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la
propriété (n) (de normalisation de $\ord_P$), en déduire la valeur
de $e$ et finalement la valeur de $\ord_P(g_0 + g_1 y)$.




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\end{document}
