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\begin{document}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\date{3 avril 2019}
\maketitle

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\noindent\textbf{Consignes.}

\textcolor{red}{À remplir.}

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

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Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
clôture algébrique.

On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C :=
\{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate
de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de
coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$.
Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées
dans $k^{\alg}$ (« points géométriques ») ou dans $k$ (« points
rationnels ») qui annulent $h$.

\smallskip

(1)(a) En notant $(Z{:}X{:}Y)$ les coordonnées du plan projectif
$\mathbb{P}^2$ dont on identifie comme d'habitude $\mathbb{A}^2$ à
l'ouvert $\{Z\neq 0\}$ par $(x,y) \mapsto (1{:}x{:}y)$, déterminer
l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$
(= « projectivisée » de $C$).  On rappelle qu'on attend une équation
homogène en $Z,X,Y$.

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques)
d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de
$\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ?  On pourra appeler
$\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$
dans $k^{\alg}$.

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection
de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan
affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ?  On notera $(u,v)$ les coordonnées sur
$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto
(v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont
écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$).

\medskip

(2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de
ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que
$\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et
$\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$
(on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à
le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le
point de tangence).

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(2)}(a) Calculer $h'_x := \frac{\partial
  h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on
cherchera à factoriser l'écriture).

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$
en $(0,0)$.  Quelle est sa dimension ?

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon
que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0
\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$
tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent.  Un tel point est dit
« singulier ».  (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des
points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.)

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(2)}(d) En utilisant l'équation trouvée
en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b)
sont singuliers.  Récapituler tous les point singuliers
de $\overline{C}$.

\medskip

(3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini
par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un
paramètre qu'on va faire varier.  On notera $f_\tau := x^2+y^2 -
\tau(x-y)$

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(3)}(a) Si $k = \mathbb{R}$, que représente
$D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ?
(On pourra chercher à réécrire son équation de la forme $(x-x_c)^2 +
(y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera
la valeur en fonction de $\tau$.)

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à
l'intersection de $C$ et $D_\tau$ (c'est-à-dire annulant à la fois
$h$ et $f_\tau$), et qui ne soit pas $(0,0)$.  En substituant dans $h$
la valeur de $x^2+y^2$ donnée par l'annulation de $f_\tau$, et en
observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le
  point est sur la droite d'équation]
\[
(\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x
\]

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la
question (3)(b), montrer que par le calcul que, lorsque $\tau^2 - 1$,
$\tau^2 + 1$ et $\tau^4 + 1$ sont tous non nuls, on a :
\[
x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}
\hbox{\quad et\quad}
y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}
\tag{*}
\]
(On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de
l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.)

\medskip

(4) \underline{Indépendamment} de la question (3) qui a permis de
trouver les équations (*) ci-dessus, on cherche maintenant à dire que
ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$).

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un
morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\;
\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V
\subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$.  Que vaut $V$ ?  Quel
calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un
morphisme $V \to C$ ?  (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer
ce qu'il faudrait faire.)

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V
\to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme
$\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$.  On
écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un
point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme.  (Bien sûr,
$\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de
$\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.)

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des
points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement
$(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ?  En déduire que $\psi$
n'est pas un isomorphisme.

\smallskip

\leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a
trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et
de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 =
\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments.



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\end{document}
