%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % %\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigefalse \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{3 avril 2019} \maketitle \pretolerance=8000 \tolerance=50000 \vskip1truein\relax \noindent\textbf{Consignes.} \textcolor{red}{À remplir.} \medbreak L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des appareils électroniques est interdit. \medbreak Durée : 2h \vfill {\noindent\tiny \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} Git: \input{vcline.tex} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \pagebreak % % % Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la clôture algébrique. On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C := \{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$. Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées dans $k^{\alg}$ (« points géométriques ») ou dans $k$ (« points rationnels ») qui annulent $h$. \smallskip (1)(a) En notant $(Z{:}X{:}Y)$ les coordonnées du plan projectif $\mathbb{P}^2$ dont on identifie comme d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $\{Z\neq 0\}$ par $(x,y) \mapsto (1{:}x{:}y)$, déterminer l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ (= « projectivisée » de $C$). On rappelle qu'on attend une équation homogène en $Z,X,Y$. \smallskip \leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques) d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de $\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ? On pourra appeler $\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$ dans $k^{\alg}$. \smallskip \leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ? On notera $(u,v)$ les coordonnées sur $\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto (v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$). \medskip (2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que $\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et $\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$ (on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le point de tangence). \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(a) Calculer $h'_x := \frac{\partial h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on cherchera à factoriser l'écriture). \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$ en $(0,0)$. Quelle est sa dimension ? \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0 \neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$ tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent. Un tel point est dit « singulier ». (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.) \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(d) En utilisant l'équation trouvée en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b) sont singuliers. Récapituler tous les point singuliers de $\overline{C}$. \medskip (3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un paramètre qu'on va faire varier. On notera $f_\tau := x^2+y^2 - \tau(x-y)$ \smallskip \leavevmode\hphantom{(3)}(a) Si $k = \mathbb{R}$, que représente $D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ? (On pourra chercher à réécrire son équation de la forme $(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera la valeur en fonction de $\tau$.) \smallskip \leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à l'intersection de $C$ et $D_\tau$ (c'est-à-dire annulant à la fois $h$ et $f_\tau$), et qui ne soit pas $(0,0)$. En substituant dans $h$ la valeur de $x^2+y^2$ donnée par l'annulation de $f_\tau$, et en observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le point est sur la droite d'équation] \[ (\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x \] \smallskip \leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la question (3)(b), montrer que par le calcul que, lorsque $\tau^2 - 1$, $\tau^2 + 1$ et $\tau^4 + 1$ sont tous non nuls, on a : \[ x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1} \hbox{\quad et\quad} y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1} \tag{*} \] (On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.) \medskip (4) \underline{Indépendamment} de la question (3) qui a permis de trouver les équations (*) ci-dessus, on cherche maintenant à dire que ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$). \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V \subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$. Que vaut $V$ ? Quel calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un morphisme $V \to C$ ? (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer ce qu'il faudrait faire.) \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V \to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme $\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$. On écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme. (Bien sûr, $\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.) \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement $(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ? En déduire que $\psi$ n'est pas un isomorphisme. \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments. % % % \end{document}