%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % %\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \newenvironment{qcm}{\relax}{\relax} \newenvironment{qvar}{\relax}{\relax} \newcounter{quescnt} \newenvironment{question}% {\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak} {\relax} \newcounter{answcnt}[quescnt] \newcommand\answer{% \stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~} \let\rightanswer=\answer % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \newif\ifcorrige \corrigetrue \corrigefalse \def\seedval{test} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{18 juin 2020} \maketitle \pretolerance=8000 \tolerance=50000 \vskip1truein\relax \noindent\textbf{Consignes.} Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix multiples). Chaque question admet une unique réponse correcte. Les questions sont totalement indépendantes les unes des autres. La sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et n'obéissent donc à aucune logique particulière. La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la question 4 est (D). Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre à une question que de répondre aléatoirement. \medbreak Durée : 1h de 10h30 à 11h30 \vfill \noindent Sujet généré pour : \texttt{\seedval} \medskip {\tiny\noindent \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} Git: \input{vcline.tex} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \pagebreak \begin{qcm} % % % \begin{qvar} \begin{question} Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $(0{:}3{:}1)$ \answer $(1{:}2{:}3)$ \answer $(1{:}2{:}4)$ \answer $(0{:}2{:}3)$ \answer aucun de ceux-ci \end{question} \begin{question} Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ? \rightanswer $(0{:}2{:}1)$ \answer $(1{:}2{:}0)$ \answer $(1{:}2{:}1)$ \answer $(0{:}2{:}2)$ \answer aucun de ceux-ci \end{question} \end{qvar} % % % \begin{qvar} \begin{question} Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $31$ \answer $26$ \answer $40$ \answer $25$ \answer $24$ \end{question} \begin{question} Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_4$) du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_4)$ sur le corps à $4$ éléments ? \rightanswer $21$ \answer $17$ \answer $24$ \answer $16$ \answer $15$ \end{question} \begin{question} Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_3$) du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ? \rightanswer $13$ \answer $10$ \answer $12$ \answer $9$ \answer $8$ \end{question} \end{qvar} % % % \begin{qvar} \begin{question} Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $6$ \answer $5$ \answer $4$ \answer $7$ \end{question} \begin{question} Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x,y)$) sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $4$ \answer $5$ \answer $6$ \answer $7$ \end{question} \end{qvar} % % % \begin{question} Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x + y = 0\}$ du plan projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $6$ \answer $5$ \answer $4$ \answer $7$ \end{question} % % % \begin{question} Considérons deux droites distinctes du plan euclidien que la géométrie euclidienne qualifie de “parallèles” : quelle est la description la plus correcte de la situation de ces droites (en géométrie algébrique) ? \rightanswer elles se rencontrent en un point réel du plan projectif, mais ce point est “à l'infini”, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans le plan affine réel \answer elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les complexes \answer elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux points sont complexes conjugués et non réels \end{question} % % % \begin{question} Considérons un cercle $C$ du plan euclidien et une droite $D$ qui, du point de vue de la géométrie euclidienne, ne rencontre pas $C$ : quelle est la description la plus correcte de la situation de $C$ et $D$ (en géométrie algébrique) ? \rightanswer elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux points sont complexes conjugués et non réels \answer elles se rencontrent en deux points réels du plan projectif, mais ces points sont “à l'infini”, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas dans le plan affine réel \answer elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les complexes \end{question} % % % \begin{question} Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{R}[x,y]$ formé des polynômes réels en deux variables s'annulant en les trois points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$ (autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0,0), \penalty0 (1,0), \penalty0 (0,1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer $x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$ \answer $x$, $x-1$, $y$ et $y-1$ \answer $x(x-1)y(y-1)$ \end{question} % % % \begin{question} Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(x,y,z)$ (autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer $x$ et $y$ \answer $x$, $y$ et $z-1$ \answer $x$, $y$ et $z$ \answer $xy$ et $z$ \answer $xy$ et $z^2$ \end{question} \end{qcm} % % % \end{document}