%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
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%
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%
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\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax}
\newenvironment{qvar}{\relax}{\relax}
\newcounter{quescnt}
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{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak}
{\relax}
\newcounter{answcnt}[quescnt]
\newcommand\answer{%
\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~}
\let\rightanswer=\answer
%
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
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%
\newif\ifcorrige
\corrigefalse
\def\seedval{test}
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%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\else
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\fi
\author{}
\date{18 juin 2020}
\maketitle

\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix
multiples).  Chaque question admet une unique réponse correcte.  Les
questions sont totalement indépendantes les unes des autres.  La
sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et
n'obéissent donc à aucune logique particulière.

La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question
suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour
signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse
proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la
question 4 est (D).

Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée
qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre
à une question que de répondre aléatoirement.

\medbreak

Durée : 1h de 10h30 à 11h30

\vfill

\noindent
Sujet généré pour : \texttt{\seedval}

\medskip

{\tiny\noindent
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pagebreak

\begin{qcm}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$(0{:}3{:}1)$

\answer
$(1{:}2{:}3)$

\answer
$(1{:}2{:}4)$

\answer
$(0{:}2{:}3)$

\answer
aucun de ceux-ci

\end{question}

\begin{question}

Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ?

\rightanswer
$(0{:}2{:}1)$

\answer
$(1{:}2{:}0)$

\answer
$(1{:}2{:}1)$

\answer
$(0{:}2{:}2)$

\answer
aucun de ceux-ci

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) de la droite du
plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées
homogènes $(x{:}y{:}z)$) reliant les points $(1{:}2{:}3)$ et
$(3{:}2{:}1)$ ?

\rightanswer
$x - 2y + z = 0$

\answer
$y - 2 = 0$

\answer
$x - 2y + z = y - 2 = 0$

\end{question}

\begin{question}

Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) de la droite du
plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées
homogènes $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments reliant les
points $(1{:}2{:}2)$ et $(2{:}2{:}1)$ ?

\rightanswer
$x + y + z = 0$

\answer
$y - 2 = 0$

\answer
$x + y + z = y - 2 = 0$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{question}

Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) du plan de
l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (de coordonnées
homogènes $(t{:}x{:}y{:}z)$) passant par $(1{:}1{:}0{:}0)$,
$(1{:}0{:}1{:}0)$ et $(1{:}0{:}0{:}1)$ ?

\rightanswer
$t-x-y-z = 0$

\answer
$t=1$

\answer
$t = x+y+z = 1$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (disons, sur $\mathbb{R}$), quel
est le point d'intersection de la droite reliant $(1{:}-1{:}1)$ et
$(1{:}1{:}-1)$ et de celle reliant $(-1{:}1{:}1)$ et
$(-1{:}-1{:}-1)$ ?

\rightanswer
$(1{:}0{:}0)$

\answer
$(1{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}1{:}-1)$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$),
lequel des points suivants est aligné avec $(0{:}1{:}2{:}3)$ et
$(1{:}2{:}3{:}4)$ ?

\rightanswer
$(1{:}1{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}1{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}0{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}0{:}0{:}1)$

\answer
aucun de ceux-ci

\end{question}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$31$

\answer
$26$

\answer
$40$

\answer
$25$

\answer
$24$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_4$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_4)$ sur le corps à $4$ éléments ?

\rightanswer
$21$

\answer
$17$

\answer
$24$

\answer
$16$

\answer
$15$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_3$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ?

\rightanswer
$13$

\answer
$10$

\answer
$12$

\answer
$9$

\answer
$8$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées
homogènes $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$6$

\answer
$5$

\answer
$4$

\answer
$7$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan
affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées affines $(x,y)$)
sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$4$

\answer
$5$

\answer
$6$

\answer
$7$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{R})$ la transformation projective
(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ (vue comme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$),
qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.  Quel est le
point s'envoyant sur $4$ ?

\rightanswer
$4/3$

\answer
$4$

\answer
$0$

\answer
$1/2$

\answer
$\infty$

\end{question}

\begin{question}

Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{F}_5)$ la transformation projective
(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ (vue comme $\mathbb{F}_5 \cup
\{\infty\}$), qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.
Quel est le point s'envoyant sur $4$ ?

\rightanswer
$3$

\answer
$4$

\answer
$0$

\answer
$2$

\answer
$1$

\answer
$\infty$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{question}

Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de
coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T+X+Y+Z =
T-X-Y+Z = 0$ définissent...

\rightanswer
une droite

\answer
un plan

\answer
un point

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de
coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T-X-Y+Z =
T-X+Y-Z = T+X-Y-Z = 0$ définissent...

\rightanswer
le point $(1{:}1{:}1{:}1)$

\answer
une droite

\answer
l'ensemble vide

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de
coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T = X = Y = Z
= 0$ définissent...

\rightanswer
l'ensemble vide

\answer
le point $(0{:}0{:}0{:}0)$

\answer
une droite

\answer
une surface

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x + y = 0\}$ du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$)
sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$6$

\answer
$5$

\answer
$4$

\answer
$7$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons deux droites distinctes du plan euclidien que la géométrie
euclidienne qualifie de “parallèles” : quelle est la description la
plus correcte de la situation de ces droites (en géométrie
algébrique) ?

\rightanswer
elles se rencontrent en un point réel du plan projectif, mais ce point
est “à l'infini”, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans le plan affine
réel

\answer
elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les
complexes

\answer
elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux
points sont complexes conjugués et non réels

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons un cercle $C$ du plan euclidien et une droite $D$ qui, du
point de vue de la géométrie euclidienne, ne rencontre pas $C$ :
quelle est la description la plus correcte de la situation de
$C$ et $D$ (en géométrie algébrique) ?

\rightanswer
elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux
points sont complexes conjugués et non réels

\answer
elles se rencontrent en deux points réels du plan projectif, mais ces
points sont “à l'infini”, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas dans le plan
affine réel

\answer
elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les
complexes

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Soit $\mathbb{F}_2$ le corps fini à deux éléments et
$\mathbb{F}_2^{\alg}$ sa clôture algébrique ($\bigcup_{n=1}^{+\infty}
\mathbb{F}_{2^n}$), et considérons le fermé de Zariski $F := \{x^4 y +
x y^4 = 0\}$ dans la droite projective $\mathbb{P}^1$ (de coordonnées
homogènes $(x{:}y)$) sur $\mathbb{F}_2$.  Qu'est-ce qui décrit le
mieux les points de $F$ ?

\rightanswer
$F$ a trois points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”) et deux
autres points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”) qui ne
sont pas définis sur $\mathbb{F}_2$

\answer
$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”)

\answer
$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”)
dont aucun n'est défini sur $\mathbb{F}_2$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{R}[x,y]$ formé des polynômes
réels en deux variables s'annulant en les trois points $(0,0)$,
$(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$
(autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0,0), \penalty0 (1,0), \penalty0
(0,1)\})$).  Cet idéal $I$ est engendré par...

\rightanswer
les trois polynômes $x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$

\answer
les quatre polynômes $x$, $x-1$, $y$ et $y-1$

\answer
le polynôme $x(x-1)y(y-1)$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des
polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes
homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de
coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ (autrement dit, $I =
\mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$).  Cet idéal $I$ est engendré par...

\rightanswer
les deux polynômes $x$ et $y$

\answer
les trois polynômes $x$, $y$ et $z-1$

\answer
les trois polynômes $x$, $y$ et $z$

\answer
les deux polynômes $xy$ et $z$

\answer
les deux polynômes $xy$ et $z^2$

\end{question}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quelle est l'équation de
l'adhérence de $C$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (i.e., de la
projectivisée de $C$), en appelant $(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées
homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?

\rightanswer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 T + Y^2 T - T^3 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - 1 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - T^2 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 = 0$

\end{question}

\begin{question}

Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quels sont les points à
l'infini de $C$ ; ou, plus exactement, quels sont les points sur la
droite “à l'infini” $T=0$ de l'adhérence de $C$ dans le plan projectif
$\mathbb{P}^2$ (i.e., de la projectivisée de $C$), en appelant
$(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?

\rightanswer
$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}0{:}0)$

\answer
$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{F}_5[t]$ formé des polynômes
sur le corps fini à cinq éléments en la variable $t$ qui s'annulent en
chacun des cinq points $0,1,2,3,4$ de $\mathbb{A}^1$ (autrement dit,
$I = \mathfrak{I}(\{0,1,2,3,4\})$).  Cet idéal est engendré par...

\rightanswer
le polynôme $t^5 - t$

\answer
$0$ (c'est l'idéal nul)

\answer
les cinq polynômes $t$, $t-1$, $t-2$, $t-3$ et $t-4$

\answer
le polynôme $t^5 - 1$

\answer
le polynôme $t^4 - 1$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{F}_5[x,y,z]$ des
polynômes en trois variables (sur le corps à cinq éléments) engendré
par les polynômes homogènes s'annulant en chaque $\mathbb{F}_5$-point
(= “point rationnel” ; c'est-à-dire s'annulant en chaque point dont
les coordonnées homogènes sont toutes dans $\mathbb{F}_5$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ ;
autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5))$).  Cet
idéal $I$ est engendré par...

\rightanswer
les trois polynômes $x^5 y - y^5 x$, $y^5 z - z^5 y$ et $z^5 x - x^5 z$

\answer
le polynôme $0$ (c'est l'idéal nul)

\answer
le polynôme $1$ (c'est l'idéal unité)

\answer
les trois polynômes $x$, $y$ et $z$

\answer
les trois polynômes $x^5 - x$, $y^5 - y$ et $z^5 - z$

\end{question}


\end{qcm}
%
%
%
\end{document}