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\begin{document}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\author{}
\date{14 avril 2021}
\maketitle

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\noindent\textbf{Consignes.}

\textcolor{red}{À écrire}

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

\ifcorrige
Ce corrigé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
\else
Cet énoncé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
\fi

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Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
clôture algébrique.

\smallbreak

\textbf{(1)} Montrer le fait suivant (théorème d'Euler sur les
polynômes homogènes) : si $h$ est un polynôme homogène de degré $\ell$
en les variables $t_0,\ldots,t_n$ alors $t_j\,\sum_{j=0}^n
\frac{\partial h}{\partial t_j} = \ell h$ (égalité dans
$k[t_0,\ldots,t_n]$).  Pour cela, on pourra justifier qu'il suffit de
le prouver lorsque $h$ est un monôme.

\smallbreak

Dans la question qui suit, on s'intéresse à une équation de degré $2$
sur la droite :

\textbf{(2)} (a) Pour $c_0,c_1\in k$, considérons le polynôme unitaire
$q := t^2 + c_1 t + c_0$ (en une indéterminée $t$) : en posant $\Delta
:= c_1^2 - 4 c_0$, expliquer pourquoi, si $\Delta$ est nul, $q$ est le
carré d'un polynôme unitaire de degré $1$ dans $k[t]$, tandis que si
$\Delta$ est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[t]$ de deux
polynômes unitaires de degré $1$ distincts, ces polynômes étant dans
$k[t]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
dans $k$. $\bullet$ (b) En déduire que, si $c_0,c_1,c_2$ sont trois
éléments de $k$ non tous nuls, et si on on appelle $q := c_2 x^2 + c_1
x y + c_0 y^2$ (polynôme homogène de degré $2$ en les
indéterminées $x,y$) et si on pose $\Delta := c_1^2 - 4 c_0 c_2$,
alors, de façon analogue, si $\Delta$ est nul, $q$ est le carré d'un
polynôme homogène de degré $1$ dans $k[x,y]$, tandis que si $\Delta$
est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[x,y]$ de deux polynômes
homogènes de degré $1$ non proportionnels, ces polynômes étant dans
$k[x,y]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de
Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective
$\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ :
pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques
(c'est-à-dire à coefficients dans $k^{\alg}$) distincts, qui sont
rationnels (c'est-à-dire à coefficients dans $k$) si et seulement si
$\Delta$ est un carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a
exactement un point géométrique, et celui-ci est rationnel.

\smallbreak

\textbf{(3)} Si $u,v,w$ sont trois éléments de $k$ non tous nuls, de
sorte que $\{ux+vy+wz = 0\}$ définit une droite $D$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2$ sur $k$ de coordonnées homogènes $(x:y:z)$,
expliquer pourquoi si $w\neq 0$ alors $(x:y:z) \mapsto (x:y)$ définit
un isomorphisme $D \to \mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire un morphisme de
variétés algébriques dont la réciproque est encore un morphisme de
variétés algébriques).  Donner de même des isomorphismes $D \to
\mathbb{P}^1$ dans les autres cas possibles.

\medbreak

On va maintenant s'intéresser à une équation de degré $2$ dans le
plan.

Plus précisément, on appelle \emph{conique} plane sur $k$ une variété
algébrique projective (i.e., un fermé de Zariski) $C_q$ dans
$\mathbb{P}^2$ définie par une équation $q = 0$ où $q \in k[x,y,z]$
est un polynôme homogène de degré $2$ (on dit aussi « forme
quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra
  aussi librement faire l'hypothèse que $q$ n'est pas le carré d'un
  polynôme $l$ de degré $1$ (= forme linéaire) ; en effet, s'il l'est,
  la conique $\{q=0\}$ est simplement réduite à la droite $\{l=0\}$
  mais l'idéal $(q)$ n'est pas radical (il faut imaginer la conique
  comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois
variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes
sur $\mathbb{P}^2$.  À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est
une telle conique.  En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q
= a_x\, x^2 + a_y\, y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$
avec $a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$.

\smallbreak

\textbf{(4)} On rappelle qu'un point $(x_0:y_0:z_0)$ de $C_q$ est dit
\emph{singulier} lorsque $\frac{\partial q}{\partial x}$,
$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
s'annulent simultanément en $(x_0:y_0:z_0)$.  Expliquer pourquoi un
point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e.,
pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$,
$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en
$(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$).
Donner une condition sur les coefficients de leurs équations pour que
trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient concourantes.  En déduire que
la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si ses
coefficients vérifient
\[
4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0
\]
et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier
rationnel (c'est-à-dire à coordonnées dans $k$) ou géométrique
(c'est-à-dire à coordonnées dans $k^{\alg}$).

\smallbreak

\textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la
structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$.
Expliquer pourquoi on peut supposer que ce point singulier est le
point $(0:0:1)$.  Montrer que la conique est alors $\{a_x\, x^2 +
b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$.  En utilisant le résultat de la
question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x a_y$, qu'on
supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), montrer que la
conique $C_q$ est la réunion de deux droites géométriques
(c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients dans $k^{\alg}$),
s'intersectant au point singulier, et que si $\Delta$ est un carré
dans $k$, ces droites sont, en fait, rationnelles (c'est-à-dire que
leurs équations sont à coefficients dans $k$).  $\bullet$ Donner un
exemple aussi simple que possible, sur $\mathbb{R}$, de conique réelle
ayant un point singulier (disons $(0:0:1)$), d'une part dans la
situation où les deux droites dont elle est réunion sont réelles, et
d'autre part dans la situation où elles sont complexes.

\smallbreak

On supposera maintenant la conique $C_q$ \emph{lisse}, c'est-à-dire
vérifiant $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y
b_z \neq 0$ (cf. question (4)).

On appellera \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$)
d'un point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non
nécessairement situé sur $C_q$) la droite $\{ux+vy+wz = 0\}$ dont les
coefficients $u,v,w$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial x}$,
$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$.

\textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ?  (Autrement
dit, pourquoi $u,v,w$ ne s'annulent-ils pas simultanément ?  Et
pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées
homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?)  Montrer que $P_0 :=
(x_0:y_0:z_0)$ est sur $C_q$ si et seulement si il est situé sur sa
propre droite polaire.  Montrer que, lorsque c'est le cas, la droite
polaire $D_0$ en question rencontre $C_q$ en l'unique point
(géométrique) $P_0$ ; on dit que c'est la \emph{tangente} à $C_q$
en $P_0$.

\textbf{(7)} Si $P_0$ et $P_1$ sont deux points de $\mathbb{P}^2$,
montrer que $P_1$ est sur la droite polaire de $P_0$ si et seulement
si $P_0$ est sur la droite polaire de $P_1$ (on pourra exprimer ce
fait de comme une équation symétrique entre les coordonnées homogènes
$(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles $(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$).


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\end{document}