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\begin{document}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\date{14 avril 2021}
\maketitle

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\noindent\textbf{Consignes.}

\textcolor{red}{À écrire}

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

\ifcorrige
Ce corrigé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
\else
Cet énoncé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse).
\fi

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Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on
pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la
clôture algébrique.  On rappelle qu'un « point géométrique » de
$\mathbb{P}^n$ désigne un point à coordonnées dans $k^{\alg}$, tandis
qu'un « point rationnel » désigne un point à coordonnées dans $k$.

\smallbreak

\textbf{(1)} Montrer le fait suivant (théorème d'Euler sur les
polynômes homogènes) : si $h$ est un polynôme homogène de degré $\ell$
en les variables $t_0,\ldots,t_n$ alors $t_j\,\sum_{j=0}^n
\frac{\partial h}{\partial t_j} = \ell h$ (égalité dans
$k[t_0,\ldots,t_n]$).  Pour cela, on pourra justifier qu'il suffit de
le prouver lorsque $h$ est un monôme.

\smallbreak

Dans la question qui suit, on s'intéresse à une équation de degré $2$
sur la droite :

\textbf{(2)} (a) Pour $c_0,c_1\in k$, considérons le polynôme unitaire
$q := t^2 + c_1 t + c_0$ (en une indéterminée $t$) : en posant $\Delta
:= c_1^2 - 4 c_0$, expliquer pourquoi, si $\Delta$ est nul, $q$ est le
carré d'un polynôme unitaire de degré $1$ dans $k[t]$, tandis que si
$\Delta$ est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[t]$ de deux
polynômes unitaires de degré $1$ distincts, ces polynômes étant dans
$k[t]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
dans $k$. $\bullet$ (b) En déduire que, si $c_0,c_1,c_2$ sont trois
éléments de $k$ non tous nuls, et si on on appelle $q := c_2 x^2 + c_1
x y + c_0 y^2$ (polynôme homogène de degré $2$ en les
indéterminées $x,y$) et si on pose $\Delta := c_1^2 - 4 c_0 c_2$,
alors, de façon analogue, si $\Delta$ est nul, $q$ est le carré d'un
polynôme homogène de degré $1$ dans $k[x,y]$, tandis que si $\Delta$
est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[x,y]$ de deux polynômes
homogènes de degré $1$ non proportionnels, ces polynômes étant dans
$k[x,y]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré
dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de
Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective
$\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ :
pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques
distincts, qui sont rationnels si et seulement si $\Delta$ est un
carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a exactement un point
géométrique, et celui-ci est rationnel.

\smallbreak

\textbf{(3)} Si $u,v,w$ sont trois éléments de $k$ non tous nuls, de
sorte que $\{ux+vy+wz = 0\}$ définit une droite $D$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2$ sur $k$ de coordonnées homogènes $(x:y:z)$,
expliquer pourquoi si $w\neq 0$ alors $(x:y:z) \mapsto (x:y)$ définit
un isomorphisme $D \to \mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire un morphisme de
variétés algébriques dont la réciproque est encore un morphisme de
variétés algébriques).  Donner de même des isomorphismes $D \to
\mathbb{P}^1$ dans les autres cas possibles.

\medbreak

On va maintenant s'intéresser à une équation de degré $2$ dans le
plan.

Plus précisément, on appelle \emph{conique} plane sur $k$ une variété
algébrique projective (i.e., un fermé de Zariski) $C_q$ dans
$\mathbb{P}^2$ définie par une équation $q = 0$ où $q \in k[x,y,z]$
est un polynôme homogène de degré $2$ (on dit aussi « forme
quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra
  aussi librement faire l'hypothèse que $q$ n'est pas le carré d'un
  polynôme $l$ de degré $1$ (= forme linéaire) ; en effet, s'il l'est,
  la conique $\{q=0\}$ est simplement réduite à la droite $\{l=0\}$
  mais l'idéal $(q)$ n'est pas radical (il faut imaginer la conique
  comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois
variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes
sur $\mathbb{P}^2$.  À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est
une telle conique.

En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q = a_x\, x^2 + a_y\,
y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$ avec
$a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$, et on adoptera
cette notation.

\smallbreak

\textbf{(4)} On rappelle qu'un point $(x_0:y_0:z_0)$ de $C_q$ est dit
\emph{singulier} lorsque $\frac{\partial q}{\partial x}$,
$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$
s'annulent simultanément en $(x_0:y_0:z_0)$.  Expliquer pourquoi un
point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e.,
pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$,
$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en
$(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$).
Donner une condition pour que trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient
concourantes (condition sur les coefficients de leurs équations).  En
déduire que la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si
ses coefficients vérifient
\[
4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0
\]
et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier
géométrique ou rationnel.

\smallbreak

\textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la
structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$.
Expliquer pourquoi on peut supposer sans perte de généralité que ce
point singulier est le point $(0:0:1)$.  Montrer que la conique est
alors $\{a_x\, x^2 + b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$.  En utilisant le
résultat de la question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x
a_y$, qu'on supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}),
montrer que la conique $C_q$ est la réunion de deux droites
géométriques (c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients
dans $k^{\alg}$), s'intersectant au point singulier, et que si
$\Delta$ est un carré dans $k$, ces droites sont, en fait,
rationnelles (c'est-à-dire que leurs équations sont à coefficients
dans $k$).  $\bullet$ Donner un exemple aussi simple que possible, sur
$\mathbb{R}$, de conique réelle ayant un point singulier
(disons $(0:0:1)$), d'une part dans la situation où les deux droites
dont elle est réunion sont réelles, et d'autre part dans la situation
où elles sont complexes.

\smallbreak

On supposera maintenant, et jusqu'à la fin, que la conique est $C_q$
\emph{lisse}, c'est-à-dire vérifie $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y
b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z \neq 0$ (cf. question (4)).

\smallbreak

On appelle \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$) d'un
point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non nécessairement
situé sur $C_q$) la droite $\{u_0 x + v_0 y + w_0 z = 0\}$ dont les
coefficients $u_0,v_0,w_0$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial
  x}$, $\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial
  z}$ respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$.

\textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ?  (Autrement
dit, pourquoi $u_0,v_0,w_0$ ne s'annulent-ils pas simultanément ?  Et
pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées
homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?)  Montrer que, si $P_0$ et $P_1$
sont deux points de $\mathbb{P}^2$, alors $P_1$ est sur la droite
polaire de $P_0$ si et seulement si $P_0$ est sur la droite polaire
de $P_1$ (on pourra exprimer ce fait de comme une équation symétrique
entre les coordonnées homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles
$(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$).  Montrer que $P_0$ est sur $C_q$ si et
seulement si il est situé sur sa propre droite polaire.

\textbf{(7)} Montrer que l'application envoyant un point de
$\mathbb{P}^2$ sur sa droite polaire définit une bijection des points
de $\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnels) sur les droites de
$\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnelles) : pour cela, on pourra
constater que l'application $(x_0,y_0,z_0) \mapsto (u_0,v_0,w_0)$ est
linéaire.  Expliquer pourquoi cette application envoie trois points
alignés sur trois droites concourantes.

\textbf{(8)} Montrer que si $P_0$ est situé sur $C_q$, alors
l'intersection de la droite polaire de $P_0$ avec $C_q$ est réduite au
seul point $P_0$.  (S'il y avait un deuxième point, on pourra montrer
qu'il aurait forcément la même droite polaire que $P_0$.)
Réciproquement, montrer que si $D$ est une droite de $\mathbb{P}^2$
rencontrant $C_q$ en un seul point, elle est la droite polaire de ce
point.  Expliquer pourquoi ce point est automatiquement rationnel si
$D$ l'est (autrement dit, on peut écrire « un seul point » sans
ambiguïté dans les phrases précédentes).

\smallbreak

On appelle \emph{tangente} à $C_q$ en un de ses points la droite
polaire de ce point : on vient de voir qu'une droite est tangente à
$C_q$ lorsqu'elle la rencontre en un seul point (géométrique et
automatiquement rationnel si la droite l'est) ; ce point s'appelle le
point de \emph{tangence} de la tangente.

On appelle \emph{triangle autopolaire} (relativement à $C_q$ ou à $q$)
la donnée de trois points $P_0,P_1,P_2$ distincts de $\mathbb{P}^2$
tels que chacun soit situé sur la droite polaire de chacun des deux
autres.

\textbf{(9)} Expliquer pourquoi on peut toujours trouver un triangle
autopolaire (rationnel).  À quelle condition sur les coefficients
de $q$ le triangle $(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1)$ est-il
autopolaire ?  En déduire que toute conique (plane, lisse) s'écrit,
après une transformation projective, sous la forme $\{a_x\, x^2 +
a_y\, y^2 + a_z\, z^2 = 0\}$ (on dit qu'elle est \emph{diagonale}).

\textbf{(10)} En supposant temporairement que la conique $C_q$ est
diagonale, c'est-à-dire $b_x=b_y=b_z=0$ (cf. question précédente),
montrer que la droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ est tangente à $C_q$ si
et seulement si $a_y a_z u^2 + a_x a_z v^2 + a_x a_y w^2 = 0$.
$\bullet$ En déduire que, de manière générale, l'ensemble des points
$(u:v:w)$ de $\mathbb{P}^2$ (le plan projectif « dual ») tels que la
droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ (du plan projectif d'origine, de
coordonnées $(x:y:z)$) soit tangente à $C_q$ définit lui-même une
conique (qu'on appelle conique \emph{duale} de $C_q$) ; on ne demande
pas d'écrire ses équations.  $\bullet$ En déduire que par un point $P$
non situé sur $C_q$ passent, géométriquement, exactement deux
tangentes à $C_q$.

\textbf{(11)} En déduire la construction géométrique suivante de la
droite polaire $D$ d'un point $P$ de $\mathbb{P}^2$ : si $P$ est situé
sur $C_q$ c'est la tangente à $C_q$ en $P$, tandis que si $P$ n'est
pas situé sur $C_q$, alors $D$ est la droite reliant les deux points
de tangence, forcément distincts, des deux tangentes à $C_q$ passant
par $P$.  $\bullet$ Faire une figure sur $\mathbb{R}$ illustrant cette
construction géométrique dans le cas où les deux droites tangentes à
$P$ sont réelles (le point est dit « extérieur » à la conique).
Esquisser une construction, ne faisant intervenir que des
constructions réelles, dans le cas où les droites sont complexes (le
point est « intérieur » à la conique).

\smallbreak

\textbf{(12)} Montrer le résultat suivant : si $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont
quatre points distincts situés sur la conique $C_q$, et si on pose
$P_0 = A_0 A_3 \wedge A_1 A_2$ (c'est-à-dire : l'intersection de la
droite reliant $A_0$ et $A_3$ et de celle reliant $A_1$ et $A_2$) et
$P_1 = A_1 A_3 \wedge A_0 A_2$ et $P_2 = A_2 A_3 \wedge A_0 A_1$,
alors le triangle $P_0, P_1, P_2$ est autopolaire.  Pour cela, on
pourra expliquer pourquoi on peut supposer que $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont
$(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1),(1{:}1{:}1)$ respectivement et
calculer à la fois les coordonnées de $P_0,P_1,P_2$ et des conditions
sur les coefficients de $q$.


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