%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % %\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\val}{\operatorname{val}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{13 avril 2022} \maketitle \pretolerance=8000 \tolerance=50000 \vskip1truein\relax \noindent\textbf{Consignes.} Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé du dernier exercice est long parce que beaucoup de rappels ont été faits et que la rédaction des questions cherche à donner tous les éléments nécessaires pour passer d'une question aux suivantes. La difficulté des questions étant variée, il vaut mieux ne pas rester bloqué trop longtemps. Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut valoir une partie des points. \medbreak L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. L'usage des appareils électroniques est interdit. \medbreak Durée : 2h \ifcorrige Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse). \else Cet énoncé comporte 5 pages (page de garde incluse). \fi \vfill {\noindent\tiny \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} Git: \input{vcline.tex} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \pagebreak % % % \exercice Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$. Soit $C$ le fermé de Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi, pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle euclidien de rayon $\sqrt{2}$). (1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$). (2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$, construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant $t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la droite $D_t$. (3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en prolongeant le morphisme de la question précédente. (4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$ de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$. % % % \exercice Sur un corps $k$ quelconque, considérons l'application $\varphi$ définie sur une partie de $\mathbb{P}^2$ et à valeurs dans $\mathbb{P}^2$ qui envoie le point de coordonnées homogènes $(X:Y:Z)$ sur $(YZ:XZ:XY)$ si défini. (1) Quel est l'ouvert de Zariski $U$ de définition de $\varphi$ ? Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois points de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera les coordonnées. (2) Quel est l'ouvert de Zariski $V$ des points (de $U$) dont l'image par $\varphi$ appartient à $U$ ? Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois droites de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera les équations. (3) Que vaut $\varphi\circ\varphi$ sur $V$ ? % % % %% \exercice %% On définit deux suites de polynômes $(T_n)$ et $(U_n)$ %% dans $\mathbb{Z}[x]$ (polynômes de Čebyšëv de première et seconde %% espèce) par les formules de récurrence suivantes : %% \[ %% \left\{\begin{aligned} %% T_0(x) &= 1\\ %% T_1(x) &= x\\ %% T_{n+1}(x) &= 2x\, T_n(x) - T_{n-1}(x)\\ %% \end{aligned}\right. %% \;\;\;\hbox{~et~}\;\;\; %% \left\{\begin{aligned} %% U_{-1}(x) &= 0\\ %% U_0(x) &= 1\\ %% U_{n+1}(x) &= 2x\, U_n(x) - U_{n-1}(x)\\ %% \end{aligned}\right. %% \] % % % \exercice Soit $k$ un corps de caractéristique $0$ et qu'on supposera algébriquement clos pour simplifier. Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5) \in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines. On appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant un point à l'infini\footnote{Pour être tout à fait exact, il ne s'agit pas de la complétée projective de $C$ dans $\mathbb{P}^2$, mais d'une « désingularisation » de celle-ci (qui a cependant un unique point en plus de ceux de $C$ comme la complétée projective). Les questions qui suivent ont été rédigées de manière à ce que cette subtilité ne pose pas de problème.} noté $\infty$ à la variété algébrique affine $C$ d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$. On admettra sans justification les faits suivants : \begin{itemize} \item Que son corps des fonctions $K := k(C^+)$ peut se voir comme le quotient $k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ de l'anneau $k(x)[y]$ des polynômes en l'indéterminée $y$ sur le corps $k(x)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $x$ sur $k$ par le polynôme $y^2 - p(x)$ définissant $C$, c'est-à-dire, concrètement : \item que tout élément de $K$ peut s'écrire de façon unique $g_0 + g_1\,y$ où $g_0,g_1 \in k(x)$ sont deux fractions rationnelles en $x$, l'addition se calculant en ajoutant terme à terme, et la multiplication en développant le produit et en remplaçant $y^2$ par $p(x)$. \end{itemize} On rappelle par ailleurs qu'une \emph{valuation discrète} sur $K$ au-dessus de $k$ et une fonction $v\colon K\to \mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : \textbf{(o)} $v(f) = +\infty$ si et seulement si $f=0$,\quad \textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad \textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c) = 0$ si $c\in k$,\quad et enfin \textbf{(n)} il existe $f\in K$ telle que $v(f) = 1$. De plus, on rappelle que pour chaque point $P$ de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$ vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$). Et réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$). \smallbreak (1) Si $v$ est une valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$, expliquer pourquoi sa restriction à $k(x)$ vérifie encore les propriétés (o), (i), (ii) et (k) de la définition d'une valuation discrète. En déduire qu'elle est de la forme $e\cdot v'$ où $v'$ est une valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$, et où $e\geq 1$ est entier. \smallbreak On rappelle que toute valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$ est de la forme $\val_{x_0}$ pour $x_0 \in k$ ou bien $\val_\infty$, où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que $\val_{x_0}(g)$ est l'exposant de la plus grande puissance de $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) = \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du dénominateur moins le degré du numérateur. (NB : c'est seulement pour éviter la confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a écrit $\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en un point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$. Il s'agit de la même construction sur deux courbes différentes.) \smallbreak (2) Soit $P_i$ le point $(\xi_i,0)$ de $C$ (pour $1\leq i\leq 5$ fixé). On cherche à calculer $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y)$. Montrer que $\ord_{P_i}(g) = e\, \val_{\xi_i}(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à déterminer. En déduire que $\ord_{P_i}(y) = \frac{e}{2}$. En déduire que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_{\xi_i}(g_0),\; \val_{\xi_i}(g_1)+\frac{1}{2})$. En déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_{\xi_i}(g_0),\; 2\val_{\xi_i}(g_1)+1)$. \smallbreak (3) Soit $\infty$ le point à l'infini de $C^+$ (non situé sur $C$). On cherche à calculer $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y)$ de façon analogue à la question précédente. Montrer que $\ord_\infty(g) = e\, \val_\infty(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à déterminer (\textit{a priori} sans lien avec celui de la question précédente). En déduire que $\ord_\infty(y) = -\frac{5e}{2}$. En déduire que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_\infty(g_0),\; \val_\infty(g_1)-\frac{5}{2})$. En déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_\infty(g_0),\; 2\val_\infty(g_1)-5)$. \smallbreak (4) Soit $Q := (x_Q,y_Q)$ un point de $C$ avec $y_Q \neq 0$ (ou, ce qui revient au même, $x_Q \not\in \{\xi_1,\ldots,\xi_5\}$) ; on notera $Q' := (x_Q,-y_Q)$ son symétrique. En quels points de $C^+$ la fonction $h := x - x_Q$ a-t-elle un zéro ? En utilisant le fait que $\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) = \ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$. En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$ pour tout $g \in k(x)$. En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q) \neq 0$). Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ n'a pas de pôle en $Q$ ni en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$). \smallbreak (5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel $\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$ sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $\leq n$ en $\infty$ (c'est-à-dire $\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs (c'est-à-dire $\ord_Q(f) \geq 0$ pour tout $Q \in C$). Montrer que cela équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ et $g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$. En déduire que la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut $\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) + \max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne la partie entière de $v$. En déduire que \[ \ell(n[\infty]) = \left\{ \begin{array}{ll} 1,1,2&\hbox{~si $n=0,1,2$ respectivement}\\ n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\ \end{array} \right. \] (on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$ séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair). On rappelle que le théorème de Riemann-Roch prédit $\ell(n[\infty]) = n + 1 - g$ si $n$ est assez grand, où $g$ est le genre de la courbe : que vaut $g$ ici ? \smallbreak Pour la question suivante, on rappelle que la différentielle $df$ d'une fonction $f$ a pour ordre $\ord_Q(df) = \ord_Q(f) - 1$ si $\ord_Q(f) \neq 0$, et $\ord_Q(df) \geq 0$ dès que $\ord_Q(f) \geq 0$. On rappelle par ailleurs que $f \mapsto df$ est $k$-linéaire et que $d(ff') = f\,df' + f'\,df$. \smallbreak (6) Calculer $\ord_Q(dx)$ en tout $Q \in C^+$ (y compris $\infty$ et les cinq points $P_1,\ldots,P_5$) ; on pourra remarquer que $d(x-c) = dx$. En déduire que le diviseur canonique de $\omega := \frac{dx}{y}$ vaut $2[\infty]$, c'est-à-dire que $\ord_Q(\omega) = 0$ en tout point $Q$ sauf $\ord_\infty(\omega) = 2$. Le théorème de Riemann-Roch prédit plus exactement $\ell(n[\infty]) - \ell((2-n)[\infty])) = n + 1 - g$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : vérifier directement cette affirmation à l'aide du résultat calculé à la question (5). \smallbreak (7) Aux questions (2) et (3), on a calculé exactement $\ord_Q(f)$ (pour $f$ quelconque, écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$) si $Q$ est l'un des six points $P_1,\ldots,P_5,\infty$, en calculant séparément $\ord_Q(g)$ si $g\in k(x)$ et $\ord_Q(y)$. À la question (4), on a étudié $\ord_Q$ pour un quelconque autre point, on a calculé $\ord_Q(g)$ et $\ord_Q(y - y_Q)$. Ceci permet-il de calculer $\ord_Q(f)$ en général ? Si non, donner un exemple de fonction $f \in K$ dont le calcul ne découle pas de ces valeurs. % % % \end{document}