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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\Erratum sur les notes de cours}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

(Modification à apporter par rapport à la version étiquetée :
\texttt{e90daf0 Tue Apr 12 18:13:40 2016 +0200})

Remplacer la section \ref{smooth-points-give-unique-place-reasoning}
par le texte suivant (qui justifie la
proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} pour un point
rationnel) :

Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut
dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point
de $Z(I)$.

Pour donner un exemple simple mais important, considérons $h \in
k[x,y]$ irréductible tel que $h(0,0) = 0$ et que $h'_y(0,0) \neq 0$ en
notant $h'_y$ la dérivée de $h$ par rapport à sa seconde variable ;
quitte à faire un changement de variable linéaire sur $x$ et $y$, on
peut supposer $h'_x(0,0) = 0$ et $h'_y(0,0) = 1$ : c'est-à-dire que
$h$ est la somme de $y$ et de termes de degré total au moins $2$.

Soit $K := k(\bar x,\bar y:h=0) = \Frac(k[x,y]/(h))$ (on note $\bar
x,\bar y$ les classes de $x,y$ dans $K$ pour les distinguer des
indéterminées elles-mêmes).

Si on cherche une valuation $v$ de qui détermine le point $(0,0)$,
c'est-à-dire l'idéal $\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$,
elle doit vérifier $a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; et
la donnée de $a$ et $b$ détermine complètement la valuation des
monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai
+ bj$.  On veut montrer que $v$ est unique.  (La difficulté est que la
valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les
valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la
valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait
que celle des monômes l'est.)

Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si
$h=y$, mais alors connaît déjà les valuations sur $k[x,y]/(y)$,
cf. \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, et il y en a bien
une seule pour laquelle $v(\bar x)>0$, donc on peut exclure ce cas).
Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$.  Soit $e$
l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$
de $h(x,0)$).  On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$.  Tout monôme
dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance
de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par
conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont
susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$,
qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule
dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$
(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$).  À
présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine
complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$).

Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$
est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de
$v$-valuation strictement supérieure à $ae$.  Observons que dans un
polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut
remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$.  Si
$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus
petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on
vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c'
x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure.
Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule
pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$.  S'il
s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont
les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement
supérieure à $a(i + e j)$.  Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est
finie (sauf si $f$ est un multiple exact de $h$), la procédure
termine\footnote{Une autre façon de voir la procédure ici décrite est
  d'utiliser l'ordre sur les monômes $x^i y^j$ consistant à comparer
  d'abord $i + e j$ puis, en cas d'égalité, $i$ : on cherche à
  réécrire $f$ modulo $h$ pour rendre aussi grand que possible le plus
  petit monôme dans $f$.}.  On a donc expliqué comment calculer la
$v$-valuation de $\bar f := f \mod h$ sans jamais utiliser d'autre
information sur $v$ que $a$ et $e$.  Du coup, $v$ est uniquement
déterminé par ces données sur $k[x,y]/(h)$, donc sur $K$
(cf. \ref{valuations-on-integral-domains}).  Et comme on sait déjà
qu'elle existe, il y a bien existence et unicité.

Enfin, comme on a obtenu que la valuation de tout élément de $K$ est
un multiple de $a$, on a forcément $a=1$.

On a montré un cas particulier du résultat suivant :

[L'énoncé de la proposition \ref{smooth-points-give-unique-place} est
  inchangé.]


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\end{document}
