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\begin{document}
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\title{Exercices courbes algébriques — Corrigé}
\else
\title{Exercices courbes algébriques}
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\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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\exercice

Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$.

(1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que
le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire,
premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple
dans $k^{\alg}$).

\begin{corrige}
La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$.  Leur résultant
(i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la
matrice de Sylvester
\[
\begin{pmatrix}
1&0&a&b&0\\
0&1&0&a&b\\
3&0&a&0&0\\
0&3&0&a&0\\
0&0&3&0&a\\
\end{pmatrix}
\]
c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de
la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de
la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5}
\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve
ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a -
a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot
b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$).
\end{corrige}

\smallbreak

(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$.  Montrer que $h$ est
irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$)
et même géométriquement irréductible.

\begin{corrige}
On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f
:= x^3 + ax + b \in k(x)$.  Pour montrer qu'il est irréductible dans
$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré
dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible
dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des
coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le
coefficient de $y^2$ est $1$).  Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$,
car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs
irréductibles), et son degré serait pair.

Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il
est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est
géométriquement irréductible.
\end{corrige}

\smallbreak

On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et
$K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe
plane $E$ d'équation $h = 0$.  Qyand le contexte est clair, on se
permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de
$A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des
indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$.

(3) Expliquer pourquoi tout élément de $K$ s'écrit de façon unique
sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$.  Expliquer
comment effectuer les opérations (addition, multiplication, inverse)
sur cette représentation.  Expliquer pourquoi tout élément de $K$
s'écrit également de façon unique sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2
x^2$ avec $g_0,g_1,g_2 \in k(y)$.  Comment passer d'une représentation
à l'autre ?  À titre d'exemple, exprimer $\frac{1}{y}$ sous la forme
$f_0 + f_1 y$, et exprimer $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ sous la
forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$.

\begin{corrige}
On a $K = k(x)[y]/(h)$ (corps de rupture de $h$ sur $k(x)$) car il est
engendré par $y$ algébrique sur $k(x)$ d'équation minimale $h=0$.  Par
division euclidienne par $h$ (polynôme de degré $2$) dans $k(x)[y]$,
on voit tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un
polynôme $f_0 + f_1 y$ de degré $<2$ en $y$, à savoir le reste de la
division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$.  L'addition se fait terme
à terme (sur $f_0,f_1$).  La multiplication se fait en développant et
en utilisant $y^2 = x^3 + ax + b$ pour éliminer l'éventuel terme
en $y^2$.  L'inverse se calcule en calculant une relation de Bézout
entre $f_0 + f_1 y$ et $h$ dans $k(x)[y]$ (si $u (f_0 + f_1 y) + w h =
1$ avec $u,w \in k(x)[y]$ alors $u$ est l'inverse de $f_0 + f_1 y$).

Les mêmes remarques valent pour $K = k(y)[x]/(h)$ avec cette fois $h$
vu comme un élément de $k(y)[x]$, de degré $3$ en $x$.  On peut donc
écrire tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un polynôme
$g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ de degré $<3$ en $x$, qui est aussi le reste
de la division euclidienne par $h$ cette fois dans $k(y)[x]$.  Les
mêmes remarques valent \textit{mutatis mutandis} pour les opérations.
Pour passer d'une représentation à l'autre, on peut utiliser le fait
qu'on sait calculer les opérations sous l'une ou l'autre forme pour
calculer la valeur d'une forme sous l'autre.

À titre d'exemple, pour représenter $\frac{1}{y}$ sous la forme $f_0 +
f_1 y$, on calcule une relation de Bézout $u y + w h = 1$ entre $y$
et $h$ dans $k(x)[y]$, qui est trivialement $\frac{y}{x^3 + ax +
  b}\times y - \frac{1}{x^3 + ax + b}\times h = 1$, c'est-à-dire que
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y$ dans $K$.  De même, pour
représenter $\frac{1}{x}$ sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$, on
écrit $\frac{x^2+a}{y^2-b}\times x + \frac{1}{y^2-b}\times h = 1$
dans $k(y)[x]$, c'est-à-dire $\frac{1}{x} = \frac{a}{y^2-b} +
\frac{1}{y^2-b} x^2$ dans $K$, et on peut calculer $\frac{1}{x^2}$
soit en élevant cette quantité au carré soit en calculant une nouvelle
relation de Bézout, en tout cas $\frac{1}{x^2} = \frac{a^2}{(y^2-b)^2}
+ \frac{1}{y^2-b} x + \frac{a}{(y^2-b)^2} x^2$.
\end{corrige}

\smallbreak

(4) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
plus une valuation vérifiant ces conditions (il pourra être utile de
remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $v(f_0)$ et $v(f_1 y)$ ne
peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $v(x)$ et $v(y)$ ?
Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On appellera cette place
« point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$.

\begin{corrige}
Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x)
< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc
$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors
$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$
(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes.

Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$.
Par ailleurs, la donnée de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est
$r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation
usuelle en l'infini sur $k(x)$).  Et comme $v(f_1 y) = \frac{3}{2}r +
v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la
valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est
complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont
de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des
termes).  Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$
près.  Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup
\{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$,
c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.

Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes
en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son
idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit
avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement
positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que
$x$ doit avoir un pôle quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister
une valuation telle que $v(x)<0$).
\end{corrige}

\smallbreak

(5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on
rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ?  Montrer que la place
$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de
degré $1$).  Donner une uniformisante en $\heartsuit$.

\begin{corrige}
On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$
sur $k(x)$ (de polynôme minimal $h$) : cela signifie précisément que
l'extension algébrique $K$ de $k(x)$ engendrée par $y$ est de degré
$[K:k(x)] = 2$, c'est-à-dire que $x$ est de degré $2$ en tant que
fonction sur $E$.  De même, le fait que $x$ soit algébrique de
degré $3$ sur $k(y)$ (toujours de polynôme minimal $h$) signifie que
$\deg(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$.  (Il est malheureux que le
terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le degré
de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en tant
que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est
malheureusement bien ancrée.)

En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4),
l'identité du degré appliquée à $\frac{1}{x}$ donne $\deg(\frac{1}{x})
= \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on
l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où
$\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle
$\ord_P(x) < 0$).  Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc
$\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit
$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}.

Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque
$\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$.
\end{corrige}

\smallbreak

(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues
en (3).

\begin{corrige}
Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on
se rappelle qu'on a vu en (4) que $\ord_\heartsuit(f_1 y)$ ne peut
jamais être de la forme $\ord_\heartsuit(f_0)$.  La valuation
$\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement
si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$,
sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} la valuation
usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini d'une fraction rationnelle
en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être de valuation nulle
en $\heartsuit$, seulement impaire.  Bref, l'évaluation de $f_0 + f_1
y$ en $\heartsuit$ est la valeur de $f_0(\infty)$ pour l'évaluation
usuelle des fractions rationnelles en l'infini, à condition que
$\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$
(i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$), et $\infty$ sinon.

Le même raisonnement fonctionne pour $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ (les
trois termes ont des valuations $\ord_\heartsuit$ congrues
respectivement à $0$, $1$ et $2$ modulo $3$ donc seul $g_0$ peut avoir
une valuation nulle) : son évaluation en $\heartsuit$
vaut $g_0(\infty)$ à condition que $\ord_\infty(g_0) \geq 0$ et
$\ord_\infty(g_1) \geq \frac{2}{3}$ (c'est-à-dire $\ord_\infty(g_1)
\geq 1$) et $\ord_\infty(g_2) \geq \frac{4}{3}$ (c'est-à-dire
$\ord_\infty(g_2) \geq 2$), et $\infty$ si ces conditions ne sont pas
satisfaites.

Le fait qu'on ait trouvé une évaluation dans le corps $k$ de base
confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
\end{corrige}

\smallbreak

\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
  satisfaite.}

(7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax
+ b$ dans $k[x]$.  Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$
de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera
$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de
$f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$.  On notera $\clubsuit$ une
place comme on vient de trouver.

\begin{corrige}
Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r :=
w(f_\sharp) > 0$.  Alors en considérant la décomposition en facteurs
irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que
$w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation
de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier
dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément).  En
particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un
facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois
d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a
$w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$.

Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier
de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la
valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation
d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est
le plus petit des valuations des termes).  Bref, on a complètement
caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près.  Mais puisque l'image de $w$
doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation),
on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$.

Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence
des valuations appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de
corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré
par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation
positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit,
tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro
quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle
que $v(f_\sharp)>0$).
\end{corrige}

\smallbreak

(8) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place
$\clubsuit$ associée en (7) à un facteur irréductible $f_\sharp$
de $f$ ?  Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$
et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément
de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$.  Quel est le degré
de $\clubsuit$ ?

\begin{corrige}
On se rappelle qu'on a vu en (7) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut
jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$.  La valuation
$\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si
$\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant
que $\ord_\clubsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} l'exposant
$\ord_{(f_\sharp)}(f_0)$ de la multiplicité de $f_\sharp$ dans la
décomposition de $f$ en irréductibles : bref, l'anneau de valuation
$\mathcal{O}_\clubsuit$ est l'ensemble des $f_0 + f_1 y$ telles que
$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$ et $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq
-\frac{1}{2}$ (i.e., $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$) ; on notera que
cet anneau contient $A = k[x,y]/(h)$ (puisqu'il contient [les classes
  de] $x$ et $y$, qui engendrent $A$).  L'idéal maximal
$\mathfrak{m}_\clubsuit$ est formé des $f_0 + f_1 y$ telles que
$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) > 0$ et toujours $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$.

On a un morphisme $A/(f_\sharp,y) \to \varkappa_\clubsuit$ défini par
l'inclusion $A \to \mathcal{O}_\clubsuit$ en remarquant que $f_\sharp$
et $y$ sont tous deux dans $\mathfrak{m}_\clubsuit$ (c'est-à-dire
qu'ils sont dans le noyau du morphisme $A \to
\mathcal{O}_\clubsuit/\mathfrak{m}_\clubsuit = \varkappa_\clubsuit$).
Or $A/(f_\sharp,y) = k[x,y]/(h,f_\sharp,y) = k[x]/(f_\sharp)$ est le
corps de rupture de $f_\sharp$.  Vu que c'est un corps, le morphisme
est injectif.  Mais il est aussi surjectif car tout élément de
$\mathcal{O}_\clubsuit$ se représente, modulo $f_\sharp$ et $y$, par
un élément de $A$ : concrètement, si $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$,
on peut voir $f_0$ dans $k[x]/(f_\sharp)$ (c'est-à-dire le reste de la
division euclidienne si $f_0 \in k[x]$, et sinon, on écrit une
relation de Bézout entre le dénominateur de $f_0$ et $f_\sharp$), et
c'est l'image recherchée.

Le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ est donc $k[x]/(f_\sharp)$, et
l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\clubsuit$ est la valeur de $f_0$
modulo $f_\sharp$ (quitte à écrire une relation de Bézout avec le
dénominateur), à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et
$\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon.

En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$.
\end{corrige}

\smallbreak

(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui
\emph{ne divise pas} $f$.  Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de
rupture de $f_P$ sur $k$.  On considère la classe $\bar h$ de $h$
modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux
cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux
polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible
dans $\kappa[y]$.  Montrer que dans le cas (a), il existe exactement
deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$
et $f_P$, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} = \kappa$ pour chacun d'entre
eux ; et que dans le cas (b), il existe un unique idéal maximal
$\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, à savoir l'idéal
$(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$
est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$
sur $\kappa$, donc).

\smallbreak

(10) En continuant le contexte de la question précédente
($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer
que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$
contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$
(qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$,
vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle.
Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places
de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg
f_P$.  Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi
construites.  Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K :
  k(f_P(x))]$) ?  En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs
qu'aux places qu'on a construites.



%
%
%
\end{document}
