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\begin{document}
\ifcorrige
\title{Exercices courbes algébriques — Corrigé}
\else
\title{Exercices courbes algébriques}
\fi
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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%

\exercice

Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$.

(1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que
le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire,
premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple
dans $k^{\alg}$).

\begin{corrige}
La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$.  Leur résultant
(i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la
matrice de Sylvester
\[
\begin{pmatrix}
1&0&a&b&0\\
0&1&0&a&b\\
3&0&a&0&0\\
0&3&0&a&0\\
0&0&3&0&a\\
\end{pmatrix}
\]
c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de
la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de
la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5}
\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve
ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a -
a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot
b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$).
\end{corrige}

\smallbreak

(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$.  Montrer que $h$ est
irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$)
et même géométriquement irréductible.

\begin{corrige}
On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f
:= x^3 + ax + b \in k(x)$.  Pour montrer qu'il est irréductible dans
$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré
dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible
dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des
coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le
coefficient de $y^2$ est $1$).  Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$,
car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs
irréductibles), et son degré serait pair.

Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il
est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est
géométriquement irréductible.
\end{corrige}

\smallbreak

On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et
$K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe
plane $E$ d'équation $h = 0$.  Qyand le contexte est clair, on se
permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de
$A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des
indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$.

(3) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
plus une valuation vérifiant ces conditions : que valent exactement
$v(x)$ et $v(y)$ ?  Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On
appellera cette place « point à l'infini » de $E$.

\begin{corrige}
Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x)
< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc
$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors
$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$
(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes.  Par ailleurs, la donnée
de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est $r$ fois le degré) donc
sur $k(x)$ (c'est $r$ fois la valuation usuelle en l'infini
sur $k(x)$).

Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$
(par division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$), et comme $v(g_1 y)
= \frac{3}{2}r + v(g_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas
égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $g_0 + g_1
y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les
termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des
valuations des termes).  Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la
donnée de $r$ près.  Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z}
\cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$,
c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.  Enfin, on constate que ceci
définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main,
soit en invoquant le théorème d'existence des valuations appliqué à
l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$
sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier
engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une
valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive
en $\frac{1}{y}$).
\end{corrige}

\smallbreak

\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
  satisfaite.}



%
%
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\end{document}
